Pomóż rozwiązać ten problem, nie mogę znaleźć rozwiązania. Pytanie brzmi: znaleźć f? Biorąc pod uwagę f: (0, + oo) -> RR z f (x / e) <= lnx <= f (x) -1, x in (0, + oo)

Odpowiedź:

#f (x) = lnx + 1 #

Wyjaśnienie:

Nierówność dzielimy na 2 części:

#f (x) -1> = lnx # #-># (1)

#f (x / e) <= lnx ##-># (2)

Spójrzmy na (1):

Przestawiamy, aby dostać #f (x)> = lnx + 1 #

Spójrzmy na (2):

Przyjmujemy # y = x / e # i # x = ye #. Nadal spełniamy ten warunek #y in (0, + oo) #.#f (x / e) <= lnx #

#f (y) <= lnye #

#f (y) <= lny + lne #

#f (y) <= lny + 1 #

#y inx # więc #f (y) = f (x) #.

Z 2 wyników #f (x) = lnx + 1 #

Odpowiedź:

Załóż formularz, a następnie użyj granic.

Wyjaśnienie:

Opierając się na fakcie, że widzimy, że f (x) wiąże ln (x), możemy założyć, że funkcja jest formą ln (x). Przyjmijmy ogólną formę:

#f (x) = Aln (x) + b #

Podłączając warunki, oznacza to

#Aln (x / e) + b le lnx le Aln (x) + b - 1 #

#Aln (x) - A + b le ln x le A ln x + b - 1 #

Możemy odjąć #Aln (x) + b # z całego równania do znalezienia

# - A le (1-A) ln x - b le - 1 #

Flipping,

# 1 le (A-1) lnx + b le A #

Jeśli chcemy, aby było to prawdziwe dla wszystkich x, widzimy, że górna granica jest stała i #ln (x) # jest nieograniczony, to określenie musi wyraźnie wynosić 0. Dlatego A = 1, pozostawiając nas

# 1 le b le 1 oznacza b = 1 #

Mamy więc tylko rozwiązanie #A = b = 1 #:

#f (x) = ln (x) + 1 #