Dlaczego musimy używać „kombinacji n rzeczy pobranych x w danym czasie”, kiedy obliczamy prawdopodobieństwa dwumianowe?

Odpowiedź:

Zobacz poniżej moje myśli:

Wyjaśnienie:

Ogólną formą prawdopodobieństwa dwumianowego jest:

#sum_ (k = 0) ^ (n) C_ (n, k) (p) ^ k ((~ p) ^ (n-k)) #

Pytanie brzmi: Dlaczego potrzebujemy tego pierwszego terminu, terminu kombinacji?

Popracujmy nad przykładem, a wtedy wszystko się wyjaśni.

Przyjrzyjmy się dwumianowemu prawdopodobieństwu rzutu monetą 3 razy. Postawmy się na głowie # p # i nie dostaję głów # ~ p # (obie #=1/2)#.

Kiedy przechodzimy przez proces sumowania, 4 terminy sumowania będą równe 1 (w istocie, znajdujemy wszystkie możliwe wyniki i prawdopodobieństwo wszystkich podsumowanych wyników wynosi 1):

#sum_ (k = 0) ^ (3) = kolor (czerwony) (C_ (3,0) (1/2) ^ 0 ((1/2) ^ (3))) + kolor (niebieski) (C_ (3,1) (1/2) ^ 1 ((1/2) ^ (2))) + C_ (3,2) (1/2) ^ 2 ((1/2) ^ (1)) + C_ (3,3) (1/2) ^ 3 ((1/2) ^ (0)) #

Porozmawiajmy o czerwonym terminie i niebieskim terminie.

Czerwony termin opisuje wyniki uzyskiwania 3 ogonów. Jest tylko jeden sposób na osiągnięcie tego celu, więc mamy kombinację równą 1.

Zauważ, że ostatni termin, opisujący zdobywanie wszystkich głów, ma również kombinację równą 1, ponieważ znowu istnieje tylko jeden sposób, aby to osiągnąć.

Niebieski termin opisuje wyniki uzyskiwania 2 ogonów i 1 głowy. Istnieją 3 sposoby, które mogą się zdarzyć: TTH, THT, HTT. Mamy więc kombinację równą 3.

Zauważ, że trzeci termin opisuje otrzymywanie 1 ogonów i 2 głów i znowu istnieją 3 sposoby osiągnięcia tego, a więc kombinacja wynosi 3.

W rzeczywistości w każdym rozkładzie dwumianowym musimy znaleźć prawdopodobieństwo pojedynczego rodzaju zdarzenia, takie jak prawdopodobieństwo osiągnięcia 2 głów i 1 ogon, a następnie pomnożenie go przez liczbę sposobów, w jakie można go osiągnąć. Ponieważ nie obchodzi nas kolejność, w jakiej wyniki są osiągane, używamy formuły kombinacji (a nie, powiedzmy, formuły permutacyjnej).