Jak uprościć 2cos ^ 2 (4θ) -1 za pomocą formuły z podwójnym kątem?

Odpowiedź:

# 2 cos ^ 2 (4 tta) - 1 = cos (8 teta) #

Wyjaśnienie:

Istnieje kilka formuł podwójnego kąta dla cosinusa. Zazwyczaj preferowany jest ten, który zamienia cosinus w inny cosinus:

cos 2x = 2 cos ^ 2 x - 1 #

Możemy rzeczywiście podjąć ten problem w dwóch kierunkach. Najprostszy sposób to powiedzieć # x = 4 więc dostajemy

# cos (8 theta) = 2 cos ^ 2 (4 tta) - 1 #

co jest dość uproszczone.

Zwykłym sposobem jest zdobycie tego pod względem #os theta #. Zaczynamy od wynajmu # x = 2 theta. #

# 2 cos ^ 2 (4 theta) - 1 #

# = 2 cos ^ 2 (2 (2 teta)) - 1 #

# = 2 (2 cos ^ 2 (2 teta) - 1) ^ 2 - 1 #

# = 2 (2 (2 cos ^ 2 ata -1) ^ 2 -1) ^ 2 -1 #

# = 128 cos ^ 8 theta - 256 cos ^ 6 theta + 160 cos ^ 4 theta - 32 cos ^ 2 theta + 1 #

Jeśli ustawimy # x = cos theta # mielibyśmy ósmy wielomian Czebyszewa pierwszego rodzaju, # T_8 (x) #, satysfakcjonujące

#cos (8x) = T_8 (cos x) #

Zgaduję, że pierwszy sposób był prawdopodobnie tym, za czym się podążają.