Jak uprościć (sin ^ 4x-2sin ^ 2x + 1) cosx?

Odpowiedź:

# cos ^ 5x #

Wyjaśnienie:

Ten rodzaj problemu naprawdę nie jest taki zły, gdy rozpoznasz, że wiąże się to z małą algebrą!

Najpierw przepisam podane wyrażenie, aby łatwiej było zrozumieć następujące kroki. Wiemy to # sin ^ 2x # to po prostu prostszy sposób na pisanie # (sin x) ^ 2 #. Podobnie, # sin ^ 4x = (sin x) ^ 4 #.

Możemy teraz przepisać oryginalne wyrażenie.

# (sin ^ 4 x - 2 sin ^ 2 x +1) cos x #

# = (sin x) ^ 4 - 2 (sin x) ^ 2 + 1 cos x #

Oto część dotycząca algebry. Pozwolić #sin x = a #. Możemy pisać # (sin x) ^ 4 - 2 (sin x) ^ 2 + 1 # tak jak

# a ^ 4 - 2 a ^ 2 + 1 #

Czy to wygląda znajomo? Po prostu musimy to uwzględnić! Jest to idealny kwadratowy trójnóg. Od # a ^ 2 - 2ab + b ^ 2 = (a-b) ^ 2 #, możemy powiedzieć

# a ^ 4 - 2 a ^ 2 + 1 = (a ^ 2 - 1) ^ 2 #

Teraz wróć do pierwotnej sytuacji. Zastąp ponownie #sin x # dla #za#.

# (sin x) ^ 4 - 2 (sin x) ^ 2 + 1 cos x #

# = (sin x) ^ 2 -1 ^ 2 cos x #

# = (kolor (niebieski) (sin ^ 2x - 1)) ^ 2 cos x #

Możemy teraz użyć tożsamości trygonometrycznej, aby uprościć terminy na niebiesko. Zmiana tożsamości # sin ^ 2 x + cos ^ 2 x = 1 #, dostajemy #color (niebieski) (sin ^ 2 x -1 = -cos ^ 2x) #.

# = (kolor (niebieski) (- cos ^ 2x)) ^ 2 cos x #

Kiedy już to ustawimy, znaki ujemne mnożą się, aby stać się dodatnimi.

# = (cos ^ 4x) cos x #

# = cos ^ 5x #

A zatem, # (sin ^ 4 x - 2 sin ^ 2 x +1) cos x = cos ^ 5x #.