Jak znaleźć limit (8x-14) / (sqrt (13x + 49x ^ 2)) jako, że x zbliża się do oo?

Odpowiedź:

Zrób trochę faktoringu i anuluj, aby uzyskać #lim_ (x-> oo) (8x-14) / (sqrt (13x + 49x ^ 2)) = 8/7 #.

Wyjaśnienie:

W granicach nieskończoności ogólna strategia polega na wykorzystaniu tego faktu #lim_ (x-> oo) 1 / x = 0 #. Zwykle oznacza to faktoring # x #, co będziemy tutaj robić.

Zacznij od faktoringu # x # z licznika i # x ^ 2 # z mianownika:

# (x (8-14 / x)) / (sqrt (x ^ 2 (13 / x + 49))) #

# = (x (8-14 / x)) / (sqrt (x ^ 2) sqrt (13 / x + 49)) #

Problem jest teraz z #sqrt (x ^ 2) #. To jest równoważne #abs (x) #, która jest funkcją fragmentaryczną:

#abs (x) = {(x, "dla", x> 0), (- x, "dla", x <0):} #

Ponieważ jest to limit pozytywnej nieskończoności (#x> 0 #), zastąpimy #sqrt (x ^ 2) # z # x #:

# = (x (8-14 / x)) / (xsqrt (13 / x + 49)) #

Teraz możemy anulować # x #s:

# = (8-14 / x) / (sqrt (13 / x + 49)) #

I wreszcie zobacz, co się stanie # x # idzie do # oo #:

# = (8-14 / oo) / (sqrt (13 / oo + 49)) #

Bo #lim_ (x-> oo) 1 / x = 0 #, to jest równe:

# (8-0) / (sqrt (0 + 49)) #

# = 8 / sqrt (49) #

#=8/7#