Udowodnij to: tan ^ 5x = ((1 / (1-sinx) ^ 2) - (1 / (1 + sinx) ^ 2)) / ((1 / (1-cosx) ^ 2) - (1 / ( 1 + cosx) ^ 2)?

Udowodnić

# tg ^ 5x = ((1 / (1-sinx) ^ 2) - (1 / (1 + sinx) ^ 2)) / ((1 / (1-cosx) ^ 2) - (1 / (1+) cosx) ^ 2) #

RHS

# = ((1 / (1-sinx) ^ 2) - (1 / (1 + sinx) ^ 2)) / ((1 / (1-cosx) ^ 2) - (1 / (1 + cosx) ^ 2) #

# = (((1 + sinx) ^ 2- (1-sinx) ^ 2) / (1-sin ^ 2x) ^ 2) / (((1 + cosx ^ 2) - (1-cosx) ^ 2) / (1-cos ^ 2x) ^ 2) #

# = ((4sinx) / cos ^ 4x) / ((4cosx) / (sin ^ 4x)) #

# = sin ^ 5x / cos ^ 5x = tan ^ 5x = LHS #

Udowodniono

Jest to jeden z tych dowodów, który jest łatwiejszy do pracy od prawej do lewej. Zacząć od:

# ((1 / (1-sinx) ^ 2) - (1 / (1 + sinx) ^ 2)) / ((1 / (1-cosx) ^ 2) - (1 / (1 + cosx) ^ 2) #

Pomnóż licznik i mianownik wbudowanych frakcji przez „koniugaty” (np. # 1pmsinx # na # 1 sinx #). Otrzymujesz to, np. # (1 + sinx) (1-sinx) = 1-sin ^ 2x #.

# = (((1 + sinx) / ((1-sin ^ 2x) (1-sinx))) - ((1-sinx) / ((1-sin ^ 2x) (1 + sinx)))) (((1 + cosx) / ((1-cos ^ 2x) (1-cosx))) - ((1-cosx) / ((1-cos ^ 2x) (1 + cosx))) #

Powtórz poprzedni krok, aby dodatkowo uprościć mianownik we wbudowanych ułamkach:

# = (((1 + sinx) ^ 2 / ((1-sin ^ 2x) ^ 2)) - ((1-sinx) ^ 2 / ((1-sin ^ 2x) ^ 2))) / (((1 + cosx) ^ 2 / ((1-cos ^ 2x) ^ 2)) - ((1-cosx) ^ 2 / ((1-cos ^ 2x) ^ 2)) #

Użyj tożsamości # 1-sin ^ 2x = cos ^ 2x # i # 1-cos ^ 2x = sin ^ 2x # uzyskać:

# = (((1 + sinx) ^ 2 / (cos ^ 4x)) - ((1-sinx) ^ 2 / (cos ^ 4x))) / (((1 + cosx) ^ 2 / (sin ^ 4x)) - ((1-cosx) ^ 2 / (sin ^ 4x)) #

Połącz frakcje i odwróć, aby pomnożyć odwrotności:

# = (((1 + sinx) ^ 2- (1-sinx) ^ 2) / (cos ^ 4x)) / (((1 + cosx) ^ 2- (1-cosx) ^ 2) / (sin ^ 4x)) #

# = ((1 + sinx) ^ 2- (1-sinx) ^ 2) / (cos ^ 4x) * (sin ^ 4x) / ((1 + cosx) ^ 2- (1-cosx) ^ 2) #

Rozwiń kwadraty:

# = (anuluj (1) + 2sinx + anuluj (sin ^ 2x) - (anuluj (1) -2sinx + anuluj (sin ^ 2x))) / (cos ^ 4x) * (sin ^ 4x) / (anuluj (1) + 2cosx + anuluj (cos ^ 2x) - (anuluj (1) -2cosx + anuluj (cos ^ 2x))) #

# = (anuluj (4) sinx) / (cos ^ 4x) * (sin ^ 4x) / (anuluj (4) cosx) #

# = kolor (niebieski) (tan ^ 5x) #