Jaki jest pierwiastek kwadratowy z 82?

Odpowiedź:

# 10> sqrt82> 9 #, # sqrt82 ~~ 9.0554 #

Wyjaśnienie:

#x_ "n + 1" = 1/2 (x_ "n" + S / x_ "n") -> sqrtS # dla #n -> oo #

S to numer, którego aproxximitujesz jego roota kwadratowego. W tym przypadku # S = 82 #

Oto, co to oznacza i jak jest używane:

Po pierwsze, zgadnijcie, jaki może być pierwiastek kwadratowy z 82?

pierwiastek kwadratowy z 81 wynosi 9, więc musi być nieznacznie wyższy niż 9?

Nasze przypuszczenie będzie #x_ "0" #, powiedzmy 9.2, #x_ "0" = 9,2 #

Wstawienie 9.2 jako „x” w formule da nam #x_ "0 + 1" = x_ "1" #

Będzie to następny numer, który umieścimy w równaniu. To dlatego, że zaczęliśmy od zgadywania 9,2 = #x_ "0" #, dało nam to numer #x_ "1" #, wstawienie tego numeru da nam #x_ "2" #, co nam da #x_ "3" # i tak dalej, zawsze podając nam następny numer, gdy wstawimy poprzedni. Prawa strona równania oznaczonego jako „#->#„oznacza, że gdy„ n ”staje się coraz większe, liczba również staje się coraz bliżej pierwiastka kwadratowego z S, w tym przypadku 82.

Powiedzmy, że wykonaliśmy te same obliczenia 100 razy! Wtedy byśmy mieli #x_ "100" #. Ta liczba byłaby bardzo zbliżona do pierwiastka kwadratowego z S.

Wystarczy rozmawiać, zróbmy kilka rzeczywistych obliczeń!

Zaczynamy od naszego zgadywania #x_ "0" = 9,2 #

#x_ "1" = 1/2 (9.2 + 82 / 9.2) ~~ 9.05652 #

Teraz zrób to samo z nowym numerem: #x_ "2" = 1/2 (9.05652 + 82 / 9.05652) ~~ 9.05549 #

Zróbmy to po raz ostatni: #x_ "3" = 1/2 (9.05549 + 82 / 9.05546) ~~ 9.0554 #

To znaczy # sqrt82 ~~ 9.0554 #

I masz to!

Przepraszam, jeśli wszystkie moje rozmowy były denerwujące. Starałem się to wyjaśnić dogłębnie iw prosty sposób, co jest zawsze miłe, jeśli nie jesteś zaznajomiony z pewną dziedziną matematyki. Nie rozumiem, dlaczego niektórzy ludzie muszą być tak eleganccy przy wyjaśnianiu matematyki:)

Odpowiedź:

#sqrt (82) = 9 + 1 / (18 + 1 / (18 + 1 / (18 + 1 / (18 + …)))) ~~ 9.0553851381374 #

Wyjaśnienie:

Podstawowa faktoryzacja #82# jest:

#82 = 2*41#

Ponieważ nie ma współczynników kwadratowych, #sqrt (82) # nie można uprościć. To irracjonalna liczba nieco większa niż #9#.

Pamiętaj jednak o tym #82=81+1 = 9^2+1#.

Ponieważ jest to forma # n ^ 2 + 1 #pierwiastek kwadratowy ma bardzo regularną postać jako ciągły ułamek:

#sqrt (82) = 9; bar (18) = 9 + 1 / (18 + 1 / (18 + 1 / (18 + 1 / (18 + …)))) #

Bardziej ogólnie:

#sqrt (n ^ 2 + 1) = n; bar (2n) = n + 1 / (2n + 1 / (2n + 1 / (2n + 1 / (2n + …)))) #

Bardziej ogólnie:

#sqrt (n ^ 2 + m) = n + m / (2n + m / (2n + m / (2n + m / (2n + …))))

W każdym razie możemy użyć frakcji ciągłej, aby uzyskać racjonalne przybliżenia #sqrt (82) # przez obcięcie.

Na przykład:

#sqrt (82) ~~ 9; 18 = 9 + 1/18 = 163/18 = 9,0 bar (5) #

#sqrt (82) ~~ 9; 18,18 = 9 + 1 / (18 + 1/18) = 2943/325 = 9.05bar (538461) #

#sqrt (82) ~~ 9; 18,18,18 = 9 + 1 / (18 + 1 / (18 + 1/18)) = 53137/5868 ~~ 9.05538513974 #

Kalkulator mówi mi, że:

#sqrt (82) ~~ 9.0553851381374 #

Widzicie więc, że nasze przybliżenia są dokładne do tak wielu znaczących cyfr, jak całkowita liczba cyfr w ilorazie.