Niech P (x_1, y_1) będzie punktem i niech l będzie linią z równaniem ax + o + c = 0.Pokaż odległość d od P-> l jest podawana przez: d = (ax_1 + by_1 + c) / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)? Znajdź odległość d punktu P (6,7) od linii l z równaniem 3x + 4y = 11?

Odpowiedź:

#d = 7 #

Wyjaśnienie:

Pozwolić # l-> a x + b y + c = 0 # i # p_1 = (x_1, y_1) # punkt nie na # l #.

Przypuśćmy, że tak #b ne 0 # i wołanie # d ^ 2 = (x-x_1) ^ 2 + (y-y_1) ^ 2 # po zastąpieniu #y = - (a x + c) / b # w # d ^ 2 # mamy

# d ^ 2 = (x - x_1) ^ 2 + ((c + a x) / b + y_1) ^ 2 #. Następnym krokiem jest znalezienie # d ^ 2 # minimum dotyczące # x # więc znajdziemy # x # takie

# d / (dx) (d ^ 2) = 2 (x - x_1) - (2 a ((c + a x) / b + y_1)) / b = 0 #. To za chwilę

#x = (b ^ 2 x_1 - a b y_1-a c) / (a ^ 2 + b ^ 2) # Teraz, zastępując tę wartość # d ^ 2 # otrzymujemy

# d ^ 2 = (c + a x_1 + b y_1) ^ 2 / (a ^ 2 + b ^ 2) # więc

#d = (c + a x_1 + b y_1) / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #

Teraz dane

# l-> 3x + 4y-11 = 0 # i # p_1 = (6,7) # następnie

#d = (-11 + 3xx6 + 4xx7) / sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2) = 7 #