Co to jest wierzchołek y = x ^ 2-6x-7?

Odpowiedź:

#P (3, -16) #

Wyjaśnienie:

Można to zrobić na różne sposoby.

To równanie jest w standardowej formie, więc możesz użyć wzoru #P (h, k) = (-b / (2a), - d / (4a)) # Gdzie (d) jest wyróżnikiem. #d = b ^ 2-4ac #

Lub, aby zaoszczędzić czas, możesz znaleźć współrzędną (x) dla wierzchołka z # -b / (2a) # i umieść wynik z powrotem, aby znaleźć współrzędną (y).

Alternatywnie możesz zmienić równanie w formę wierzchołka:

#a (x-h) ^ 2 + k #

Aby to zrobić, zacznij od umieszczenia poza nawiasami. To jest łatwe, ponieważ # a = 1 #

# x ^ 2-6x-7 = 1 (x ^ 2-6x) - 7 #

Teraz musimy się zmienić # x ^ 2-6x # w # (x-h) ^ 2 #

Aby to zrobić, możemy użyć zdania kwadratowego: # (q-p) ^ 2 = q ^ 2 + p ^ 2-2qp #

Powiedzmy # q = x # dlatego otrzymujemy:

# (x-p) ^ 2 = x ^ 2 + p ^ 2-2xp #

Wygląda to na coś, czego potrzebujemy, ale nadal jesteśmy daleko, jak tylko mamy # x ^ 2 #.

Jeśli spojrzymy na to # x ^ 2-6x #możemy więc stwierdzić, że tylko jedna część została podniesiona do potęgi dwóch # p ^ 2 # musi zostać usunięty. To znaczy:

# (x-p) ^ 2-p ^ 2 = x ^ 2-2xp #

Patrząc na prawą stronę, widzimy, że jest prawie # x ^ 2-6x #, w rzeczywistości musimy tylko rozwiązać # -2xp = -6x # #iff p = 3 #

To znaczy:

# (x-3) ^ 2-9 = x ^ 2-6x #

Innym sposobem na zrobienie tego byłoby odgadnięcie kwalifikacji i użycie zdań kwadratowych, aby sprawdzić, czy jest poprawne.

Wróć teraz do naszej oryginalnej formuły i zastąp # x ^ 2-6x # z # (x-3) ^ 2-9 #

Dostajemy:

# 1 (x ^ 2-6x) - 7 = 1 ((x - 3) ^ 2-9) - 7 = 1 (x - 3) ^ 2-9 - 7 = 1 (x - 3) ^ 2-16 #

Jest to podobne do postaci wierzchołka:

#a (x-h) ^ 2 + k #

Gdzie

#h = 3 # i # k = -16 #

Gdy równanie kwadratowe ma postać wierzchołka, wierzchołek jest po prostu punktem #P (h, k) #

Dlatego wierzchołek jest #P (3, -16) #