Jaki jest zakres y = [(1-x) ^ (1/2)] / (2x ^ 2 + 3x + 1)?

Najpierw rozważmy domenę:

Dla jakich wartości # x # czy funkcja jest zdefiniowana?

Licznik # (1-x) ^ (1/2) # jest zdefiniowany tylko, gdy # (1-x)> = 0 #. Dodawanie # x # po obu stronach tego znajdziesz #x <= 1 #.

Wymagamy również, aby mianownik był niezerowy.

# 2x ^ 2 + 3x + 1 = (2x + 1) (x + 1) # jest zero kiedy #x = -1 / 2 # i kiedy #x = -1 #.

Tak więc domeną funkcji jest

# {x w RR: x <= 1 i x! = -1 i x! = -1/2} #

Definiować #f (x) = (1-x) ^ (1/2) / (2x ^ 2 + 3x + 1) # w tej domenie.

Rozważmy każdy ciągły przedział w domenie osobno:

W każdym przypadku niech #epsilon> 0 # być małą liczbą dodatnią.

Przypadek (a): #x <-1 #

Dla dużych wartości ujemnych # x #, #f (x) # jest mały i pozytywny.

Na drugim końcu tego przedziału, jeśli #x = -1 - epsilon # następnie

#f (x) = f (-1-epsilon) ~ = sqrt (2) / (((2 xx -1) +1) (- 1 - epsilon + 1)) #

# = sqrt (2) / epsilon -> + oo # tak jak #epsilon -> 0 #

Więc dla #x <-1 # zakres #f (x) # jest # (0, + oo) #

Przypadek (b): # -1 / 2 <x <= 1 #

#f (-1 / 2 + epsilon) ~ = sqrt (3/2) // ((2 (-1 / 2 + epsilon) + 1) (- 1/2 + 1) #

# = sqrt (3/2) / epsilon -> + oo # tak jak #epsilon -> 0 #

#f (1) = 0/1 = 0 #

Więc dla # -1 / 2 <x <= 1 # zakres #f (x) # jest # 0, + oo) #

Przypadek (c): # -1 <x <-1 / 2 #

#f (-1 + epsilon) ~ = sqrt (2) / (((2xx-1) + 1) (- 1 + epsilon + 1)) #

# = -sqrt (2) / epsilon -> -oo # tak jak #epsilon -> 0 #

#f (-1 / 2-epsilon) ~ = sqrt (3/2) / ((2 (-1 / 2-epsilon) + 1) (- 1/2 + 1) #

# = -sqrt (3/2) / epsilon -> -oo # tak jak #epsilon -> 0 #

Ciekawe pytanie brzmi: jaka jest maksymalna wartość #f (x) # w tym przedziale. Aby znaleźć wartość # x # dla których to się dzieje, szukaj pochodnej na zero.

# d / (dx) f (x) #

# = (1/2 (1-x) ^ (- 1/2) xx-1) / (2x ^ 2 + 3x + 1) + ((1-x) ^ (1/2) xx-1xx (2x ^ 2 + 3x + 1) ^ (- 2) xx (4x + 3)) #

# = (-1/2 (1-x) ^ (- 1/2)) / (2x ^ 2 + 3x + 1) - ((1-x) ^ (1/2) (4x + 3)) / (2x ^ 2 + 3x + 1) ^ 2 #

# = ((-1/2 (1-x) ^ (- 1/2) (2x ^ 2 + 3x + 1)) - ((1-x) ^ (1/2) (4x + 3))) / (2x ^ 2 + 3x + 1) ^ 2 #

Będzie to zero, gdy licznik wynosi zero, więc chcielibyśmy rozwiązać:

# -1 / 2 (1-x) ^ (- 1/2) (2x ^ 2 + 3x + 1) - ((1-x) ^ (1/2) (4x + 3)) = 0 #

Pomnóż przez # 2 (1-x) ^ (1/2) # uzyskać:

# - (2x ^ 2 + 3x + 1) -2 (1-x) (4x + 3) = 0 #

To jest:

# 6x ^ 2-5x-7 = 0 #

który ma korzenie # (5 + -sqrt (25 + 4xx6xx7)) / 12 = (5 + -sqrt (194)) / 12 #

Z tych korzeni #x = (5-sqrt (194)) / 12 # przypada na dany okres.

Zamień to z powrotem na #f (x) # znaleźć maksimum #f (x) w tym przedziale (około -10).

Wydaje mi się to zbyt skomplikowane. Czy popełniłem jakieś błędy?

Odpowiedź: Zakres funkcji to # (- oo, -10,58 uu 0, oo) #

Dla #x in (-oo, -1) # #-># #y in (0, oo) #

Dla #x in (-1, -0,5) # #-># #y in (-oo, -10,58 #

Dla #x in (-0,5, 1 # #-># #y w 0, oo) #