Z1 + z2 = z1 + z2 wtedy i tylko wtedy, gdy arg (z1) = arg (z2), gdzie z1 i z2 są liczbami zespolonymi. w jaki sposób? proszę wytłumacz!

Odpowiedź:

Prosimy odnieść się do Dyskusja w Wyjaśnienie.

Wyjaśnienie:

Pozwolić, # | z_j | = r_j; r_j gt 0 i arg (z_j) = theta_j in (-pi, pi); (j = 1,2).

#:. z_j = r_j (costheta_j + isintheta_j), j = 1,2.

Wyraźnie, # (z_1 + z_2) = r_1 (costheta_1 + isintheta_1) + r_2 (costheta_2 + isintheta_2), #

# = (r_1costheta_1 + r_2costheta_2) + i (r_1sintheta_1 + r_2sintheta_2).

Odwołaj to, # z = x + iy rArr | z | ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2. #

#:. | (z_1 + z_2) | ^ 2 = (r_1costheta_1 + r_2costheta_2) ^ 2 + (r_1sintheta_1 + r_2sintheta_2) ^ 2, #

# = r_1 ^ 2 (cos ^ 2the_1 + sin ^ 2the_1) + r_2 ^ 2 (cos ^ 2theta_2 + sin ^ 2theta_2) + 2r_1r_2 (costheta_1costheta_2 + sintheta_1sintheta_2), #

# = r_1 ^ 2 + r_2 ^ 2 + 2r_1r_2cos (theta_1-theta_2), #

#rArr | z_1 + z_2 | ^ 2 = r_1 ^ 2 + r_2 ^ 2 + 2r_1r_2cos (theta_1-theta_2) …. (gwiazda ^ 1) #.

# „Teraz, biorąc pod uwagę,” | z_1 + z_2 | = | z_1 | + | z_2 |, #

#iff | (z_1 + z_2) | ^ 2 = (| z_1 | + | z_2 |) ^ 2 = | z_1 | ^ 2 + | z_2 | ^ 2 + 2 | z_1 || z_2 |, tj., #.

# | (z_1 + z_2) | ^ 2 = r_1 ^ 2 + r_2 ^ 2 + 2r_1r_2 ……. (gwiazda ^ 2).

Z # (gwiazda ^ 1) i (gwiazda ^ 2) # dostajemy, # 2r_1r_2cos (theta_1-theta_2) = r_1r_2. #

# "Anulowanie" r_1r_2 gt 0, cos (theta_1-theta_2) = 1 = cos0. #

#:. (theta_1-theta_2) = 2kpi + -0, k w ZZ. #

# „Ale”, theta_1, theta_2 in (pi, pi), theta_1-theta_2 = 0 lub, #

# theta_1 = theta_2, „podając”, arg (z_1) = arg (z_2), # tak jak pożądany!

Pokazaliśmy więc, że

# | z_1 + z_2 | = | z_1 | + | z_2 | rArr arg (z_1) = arg (z_2). #

The rozmawiać można udowodnić na podobnych liniach.

Ciesz się matematyką!