Jak rozwiązać 2 × exp (x) + 2x-7 = 0?

Odpowiedź:

Możemy rozwiązać to pytanie graficznie.

Wyjaśnienie:

Podane równanie # 2e ^ (x) + 2x-7 = 0 # może zostać ponownie napisany jako

# 2e ^ (x) = 7-2x #

Teraz weź te dwie funkcje jako osobne

#f (x) = 2e ^ (x) # i #g (x) = 7-2x # i wykreśl ich wykres; ich punkt przecięcia będzie rozwiązanie do podanego równania # 2e ^ (x) + 2x-7 = 0 #

Jest to pokazane poniżej: -

Odpowiedź:

To jest poza algebrą licealną, a najlepszym sposobem rozwiązania tego problemu jest pytanie Wolframa Alpha, który odpowiada #x ok. 94 #.

Wyjaśnienie:

Rozwiązać

# 2e ^ x + 2x -7 = 0 #

Pytania tego typu są ogólnie trudne, a odpowiedź zależy od tego, czy jesteś w Algebrze w szkole średniej, czy głębiej w matematyce.

W liceum najlepszym rozwiązaniem jest wypróbowanie kilku małych liczb i sprawdzenie, czy działają. (To działa dla wielu, wielu problemów matematycznych w szkole średniej, fyi.) Naprawdę jest tylko jedna racjonalna # x # sprawia, że # e ^ x # racjonalny, # x = 0 #, co nie jest rozwiązaniem. Więc zgadywanie nie zadziała.

Jeśli przybliżenie jest wystarczająco dobre, możemy je wykreślić lub narysować na wykresie # 2e ^ x # i # 7-2x # i zobacz, gdzie się spotykają.

Niezależnie od poziomu, w obliczu tak trudnego, zazwyczaj dobrym pytaniem jest pytanie dostępnego eksperta, którym jest Wolfram Alpha.

Widzimy, że Alpha dała nam przybliżoną odpowiedź, dość zbliżoną do 1, a nawet formułę używającą W (x), którą Log produktu Lambert, który zwykle nie jest częścią matematyki licealnej.

Nie ma odpowiedzi za pomocą regularnych funkcji i operacji, o których wiemy w szkole średniej Algebra. Zasadniczo to prawda, gdy dodajemy termin # x # w wykładniku do jednego gdzie # x # pojawia się jako moc liniowa lub wyższa.

To koniec odpowiedzi dla większości uczniów. Ale możemy pójść głębiej. Dziennik produktu to interesująca funkcja.Rozważmy równanie

#k = xe ^ x #

Po prawej stronie rośnie funkcja # x #, więc przejdzie # k # prędzej czy później. Zabranie logu naprawdę nas nie nosi: #ln k = ln x + x #.

Potrzebujemy czegoś w rodzaju dziennika, ale nie takiego, który jest odwrotnością # e ^ x #. Musi być odwrotnością # xe ^ x #. Nazywa się to logiem produktu lub funkcją Lambert W, zdefiniowaną jako:

#k = xe ^ x # ma prawdziwe rozwiązanie #x = W (k) #.

Ograniczymy naszą uwagę do reali. Fajnie jest spróbować odkryć # W '#s właściwości. Podstawowa jest nasza

#W (xe ^ x) = x #

Pozwólmy # x = ye ^ y # w następnej kolejności #W (x) = y #. Teraz

# W (x) e ^ {W (x)} = y e ^ y = x #

To super. Co powiesz na

# e ^ {W (x)} = e ^ {y} = frak x y = frac {x} {W (x)} #

Robienie dzienników, # W (x) = ln x - ln W (X) #

# ln W (x) = ln x - W (x) quad # zakładając, że logi są zdefiniowane

Teraz, gdy widzisz, jak to jest pracować z W, sprawdź, czy możesz go użyć do rozwiązania równania lub sprawdzić rozwiązanie Alfa

# x = 7/2 - W (e ^ (7/2)) #