Czym jest pierwotna funkcja (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2)?

Odpowiedź:

Odpowiedź to # x + arctan (x) #

Wyjaśnienie:

Najpierw zauważ, że: # (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) # można zapisać jako # (1 + 1 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) = 1 / (1 + x ^ 2) + (1 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) = 1 + 1 / (1 + x ^ 2) #

# => int (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) dx = int 1 + 1 / (1 + x ^ 2) dx = int 1 dx + int 1 / (1+ x ^ 2) dx = x + int 1 / (1 + x ^ 2) dx = #

Pochodna #arctan (x) # jest # 1 / (1 + x ^ 2) #.

Oznacza to, że pierwotna wersja # 1 / (1 + x ^ 2) # jest #arctan (x) #

I na tej podstawie możemy napisać: #int 1 + 1 / (1 + x ^ 2) dx = x + arctan (x) #

Stąd, #int (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) dx == int 1 + 1 / (1 + x ^ 2) dx = x + arctan (x) + c #

Więc pierwotna wersja # (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) # jest #color (niebieski) (x + arctan (x)) #

# „NB:” #

Nie mylić # antivivative # z całka nieokreślona

Funkcja pierwotna nie wiąże się ze stałą. W rzeczywistości znalezienie pierwotnej nie znaczy intergrate!