Jakie są ekstrema i punkty siodłowe f (x, y) = 6 sin x sin y w przedziale x, y w [-pi, pi]?

Odpowiedź:

# x = pi / 2 # i # y = pi #

# x = pi / 2 # i # y = -pi #

# x = -pi / 2 # i # y = pi #

# x = -pi / 2 # i # y = -pi #

# x = pi # i # y = pi / 2 #

# x = pi # i # y = -pi / 2 #

# x = -pi # i # y = pi / 2 #

# x = -pi # i # y = -pi / 2 #

Wyjaśnienie:

Aby znaleźć krytyczne punkty a #2#-zmienna funkcja, musisz obliczyć gradient, który jest wektorem zawierającym pochodne w odniesieniu do każdej zmiennej:

# (d / dx f (x, y), d / dy f (x, y)) #

Więc mamy

# d / dx f (x, y) = 6 cos (x) sin (y) #i podobnie

# d / dy f (x, y) = 6sin (x) cos (y) #.

Aby znaleźć punkty krytyczne, gradient musi być wektorem zerowym #(0,0)#, co oznacza rozwiązanie systemu

# {(6 cos (x) sin (y) = 0), (6 cali (x) cos (y) = 0):} #

co oczywiście możemy uprościć pozbywając się #6#:

# {(cos (x) sin (y) = 0), (sin (x) cos (y) = 0):} #

Ten system jest rozwiązany wybierając # x # punkt, który unicestwia cosinus i na # y # punkt, który unicestwia sinus i odwrotnie, tak

# x = pm pi / 2 #, i # y = pm pi #, i wzajemnie # x = pm pi # i # y = pm pi / 2 #, uzyskiwanie #8# łącznie punktów.

Jakie są ekstrema i punkty siodłowe f (x) = 2x ^ 2 lnx?

Domena definicji: f (x) = 2x ^ 2lnx to przedział xw (0, + oo). Oceń pierwszą i drugą pochodną funkcji: (df) / dx = 4xlnx + 2x ^ 2 / x = 2x (1 + 2lnx) (d ^ 2f) / dx ^ 2 = 2 (1 + 2lnx) + 2x * 2 / x = 2 + 4lnx + 4 = 6 + lnx Punkty krytyczne to rozwiązania: f '(x) = 0 2x (1 + 2lnx) = 0 i jako x> 0: 1 + 2lnx = 0 lnx = -1 / 2 x = 1 / sqrt (e) W tym punkcie: f '' (1 / sqrte) = 6-1 / 2 = 11/2> 0, więc punkt krytyczny jest lokalnym minimum. Punkty siodłowe są rozwiązaniami: f '' (x) = 0 6 + lnx = 0 lnx = -6 x = 1 / e ^ 6 i jak f '' (x) jest monotonicznie rosnący możemy stwierdzić, że f (x ) jest wk

Jakie są ekstrema i punkty siodłowe f (x, y) = 2x ^ (2) + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2 - y / x?

Ta funkcja nie ma punktów stacjonarnych (czy jesteś pewien, że f (x, y) = 2x ^ 2 + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2 y / x to ta, którą chcesz studiować ?!). Zgodnie z najbardziej rozproszoną definicją punktów siodłowych (punkty stacjonarne, które nie są ekstremami), szukasz punktów stacjonarnych funkcji w jej domenie D = (x, y) w RR ^ 2 = RR ^ 2 setminus {(0 , y) w RR ^ 2}. Możemy teraz przepisać wyrażenie podane dla f w następujący sposób: f (x, y) = 7x ^ 2 + x ^ 2y ^ 2-y / x Sposób ich identyfikacji polega na poszukiwaniu punktów, które unieważniają gradient f, który jest wektorem poch

Jakie są ekstrema i punkty siodłowe f (x, y) = 6 sin (-x) * sin ^ 2 (y) w przedziale x, y w [-pi, pi]?

Mamy: f (x, y) = 6sin (-x) sin ^ 2 (y) = -6sinxsin ^ 2y Krok 1 - Znajdź częściowe pochodne Obliczamy pochodną częściową funkcja dwóch lub więcej zmiennych przez różnicowanie zmiennej wrt, podczas gdy inne zmienne są traktowane jako stałe. Zatem: Pierwsze pochodne to: f_x = -6cosxsin ^ 2y f_y = -6sinx (2sinycosy) = -6sinxsin2y Drugie pochodne (cytowane) to: f_ (xx) = 6sinxsin ^ 2y f_ (yy) = -6sinx ( 2cos2y) = -12sinxcos2y Drugie częściowe pochodne krzyżowe to: f_ (xy) = -6cosxsin2y f_ (yx) = -6cosx (2sinycosy) = -6cosxsin2y Zauważ, że drugie częściowe pochodne krzyżowe są identyczne ze względu na ciągłość f (x, y)