Jaki jest obszar trójkąta równobocznego, którego wierzchołki leżą na okręgu o promieniu 2?

Odpowiedź:

# 3 * sqrt (3) ~ = 5.196 #

Wyjaśnienie:

Patrz rysunek poniżej

Figura przedstawia trójkąt równoboczny wpisany w okrąg, gdzie # s # oznacza boki trójkąta, # h # oznacza wysokość trójkąta i # R # oznacza promień okręgu.

Widzimy, że trójkąty ABE, ACE i BCE są przystające, dlatego możemy powiedzieć ten kąt #E kapelusz C D = (kapelusz C D) / 2 = 60 ^ @ / 2 = 30 ^ @ #.

Widzimy #triangle_ (CDE) # że

#cos 30 ^ @ = (s / 2) / R # => # s = 2 * R * cos 30 ^ @ = anuluj (2) * R * sqrt (3) / anuluj (2) # => # s = sqrt (3) * R #

W #triangle_ (ACD) # nie możemy tego zobaczyć

#tan 60 ^ @ = h / (s / 2) # => # h = s * tan 60 ^ @ / 2 # => # h = sqrt (3) / 2 * s = sqrt (3) / 2 * sqrt (3) * R # => # h = (3R) / 2 #

Z formuły obszaru trójkąta:

# S_triangle = (podstawa * wysokość) / 2 #

Dostajemy

# S_triangle = (s * h) / 2 = (sqrt (3) R * (3R) / 2) / 2 = (3 * sqrt (3) * R ^ 2) / 4 = (3 * sqrt (3) * anuluj (2 ^ 2)) / anuluj (4) = 3 * sqrt (3) #