Jak rozwiązać cos x + sin x tan x = 2 w przedziale 0 do 2pi?

Odpowiedź:

#x = pi / 3 #

#x = (5pi) / 3 #

Wyjaśnienie:

# cosx + sinxtanx = 2 #

#color (czerwony) (tanx = (sinx) / (cosx)) #

# cosx + sinx (sinx / cosx) = 2 #

# cosx + sin ^ 2x / cosx = 2 #

# cos ^ 2x / cosx + sin ^ 2x / cosx = 2 #

# (cos ^ 2x + sin ^ 2x) / cosx = 2 #

#color (czerwony) (cos ^ 2x + sin ^ 2x = 1) #

#color (czerwony) („tożsamość phytagrean”) #

# 1 / cosx = 2 #

pomnóż obie strony przez # cosx #

# 1 = 2cosx #

podziel obie strony według #2#

# 1/2 = cosx #

#cosx = 1/2 #

z okręgu jednostki #cos (pi / 3) # równa się #1/2#

więc

#x = pi / 3 #

i wiemy to #sałata# jest dodatni w pierwszym i czwartym kwadrancie, więc znajdź kąt w czwartym kwadrancie # pi / 3 # jest jego kątem odniesienia

więc

# 2pi - pi / 3 = (5pi) / 3 #

więc

#x = pi / 3, (5pi) / 3 #

Odpowiedź:

#x = pi / 3 lub {5pi} / 3 #

Wyjaśnienie:

Sposób, w jaki sprawdzam inną odpowiedź, to pisanie własnej.

#cos x + sin x tan x = 2 #

# cos x + sin x (sin x / cos x) = 2 #

#cos ^ 2 x + sin ^ 2 x = 2 cos x #

# 1 = 2 cos x #

# cos x = 1/2 #

Jest ten stereotypowy trójkąt, wiedziałeś, że nadchodzi.

W zasięgu, #x = pi / 3 lub {5pi} / 3 #

Czek:

# cos ({5pi} / 3) + sin ({5pi} / 3) tan ({5pi} / 3) = 1/2 + - sqrt {3} / 2 cdot {-sqrt {3} // 2} / {http: // 2} = 1/2 + 3/2 = 2 kwadraty #