Jak znaleźć limit lim_ (h-> 0) (sqrt (1 + h) -1) / h?

Odpowiedź:

frac {1} {2} #

Wyjaśnienie:

Limit przedstawia niezdefiniowaną formę #0/0#. W tym przypadku możesz użyć twierdzenia de l'hospital, które stwierdza

#lim frac {f (x)} {g (x)} = lim fr {f '(x)} {g' (x)} #

Pochodną licznika jest

frac {1} {2sqrt (1 + h)} #

Podczas gdy pochodną mianownika jest po prostu #1#.

Więc, # lim_ {x do 0} frak {f '(x)} {g' (x)} = lim_ {x do 0} frak {frac {1} {2sqrt (1 + h)} } {1} = lim_ {x do 0} frak {1} {2sqrt (1 + h)} #

I tak po prostu

# frac {1} {2sqrt (1)} = frac {1} {2} #

Odpowiedź:

# = 1/2 #

Wyjaśnienie:

Jeśli nie zdajesz sobie sprawy z zasady l'hopitals …

Posługiwać się:

# (1 + x) ^ n = 1 + nx + (n (n-1)) / (2!) X ^ 2 + … #

# => (1 + h) ^ (1/2) = 1 + 1 / 2h - 1/8 h ^ 2 + … #

# => lim_ (h do 0) ((1 + 1/2 h - 1 / 8h ^ 2 + …) - 1) / h #

# => lim_ (h do 0) (1/2 h - 1 / 8h ^ 2 + …) / h #

# => lim_ (h do 0) (1/2 - 1/8 h + …) #

# = 1/2 #