Jaki jest limit t zbliżający się do 0 (tan6t) / (sin2t)?

#lim_ (t-> 0) tan (6t) / sin (2t) = 3 #. Ustalamy to, wykorzystując Regułę L'Hospitala.

Parafrazując, reguła L'Hospital określa, że po podaniu limitu formularza #lim_ (t a) f (t) / g (t) #, gdzie #fa)# i #g (a) # są wartościami, które powodują, że limit jest nieokreślony (najczęściej, jeśli oba są 0 lub jakąś formą), to tak długo, jak obie funkcje są ciągłe i różniczkowalne na i w pobliżu #za,# można to stwierdzić

#lim_ (t a) f (t) / g (t) = lim_ (t a) (f '(t)) / (g' (t)) #

Lub słowami, limit ilorazu dwóch funkcji jest równy granicy ilorazu ich pochodnych.

W podanym przykładzie mamy #f (t) = tan (6t) # i #g (t) = sin (2t) #. Funkcje te są ciągłe i różniczkowalne w pobliżu # t = 0, tan (0) = 0 i sin (0) = 0 #. Tak więc nasz wstęp #f (a) / g (a) = 0/0 =?. #

Dlatego powinniśmy skorzystać z reguły L'Hospitala. # d / dt tan (6t) = 6 s ^ 2 (6 t), d / dt sin (2 t) = 2 cos (2 t) #. A zatem…

#lim_ (t> 0) tan (6t) / sin (2t) = lim_ (t> 0) (6 s ^ 2 (6 t)) / (2 cos (2 t)) = (6 s ^ 2 (0)) / (2 cos (0)) = 6 / (2 * cos ^ 2 (0) * cos (0)) = 6 / (2 * 1 * 1) = 6/2 = 3 #

Odpowiedź:

Reqd. Lim.#=3#.

Wyjaśnienie:

Znajdziemy to Limit używając następujących Wyniki standardowe:

#lim_ (thetararr0) sintheta / theta = 1, lim_ (thetararr0) tantheta / theta = 1 #

Obseruj to, #tan (6t) / sin (2t) = frac (tan (6t) / (6t)) (sin (2t) / (2t)) ##frac (6t) (2t) = 3 frac (tan (6t) / (6t)) (sin (2t) / (2t)) #

Tutaj, # trarr0rArr (6t) rarr0rArr lim_ (trarr0) tan (6t) / (6t) = 1 #

Podobnie, #lim_ (trarr0) sin (2t) / (2t) = 1 #

Dlatego Reqd. Lim.#=3{1/1}=3#.