Z 7 biletów loteryjnych 3 są nagrodami. Jeśli ktoś kupi 4 bilety, jakie jest prawdopodobieństwo wygrania co najmniej dwóch nagród?

Odpowiedź:

# P = 22/35 #

Wyjaśnienie:

Więc mamy #3# wygrywając i #4# nie wygrane bilety wśród #7# dostępne bilety.

Rozdzielmy problem na cztery niezależne, wzajemnie wykluczające się przypadki:

(a) są #0# wygrywając bilety wśród tych #4# kupiony

(więc wszystko #4# kupione bilety pochodzą z puli #4# nie wygrane bilety)

(b) jest #1# wygrywający bilet wśród tych #4# kupiony

(więc, #3# kupione bilety pochodzą z puli #4# nie wygrane bilety i #1# bilet jest z puli #3# wygrane bilety)

(c) są #2# wygrywając bilety wśród tych #4# kupiony

(więc, #2# kupione bilety pochodzą z puli #4# nie wygrane bilety i #2# bilety są z puli #3# wygrane bilety)

(d) są #3# wygrywając bilety wśród tych #4# kupiony

(więc, #1# kupiony bilet jest z puli #4# nie wygrane bilety i #3# bilety są z puli #3# wygrane bilety)

Każde z powyższych zdarzeń ma swoje własne prawdopodobieństwo wystąpienia.Interesują nas zdarzenia (c) i (d), suma prawdopodobieństw ich wystąpienia jest tym, czym jest problem. Te dwa niezależne wydarzenia stanowią wydarzenie „wygrywające co najmniej dwie nagrody”. Ponieważ są one niezależne, prawdopodobieństwo połączonego zdarzenia jest sumą jego dwóch składników.

Prawdopodobieństwo zdarzenia (c) można obliczyć jako stosunek liczby kombinacji #2# kupione bilety pochodzą z puli #4# nie wygrane bilety i #2# bilety są z puli #3# wygrane bilety (# N_c #) do całkowitej liczby kombinacji #4# poza #7# (N).

# P_c = C_3 ^ 2 * C_4 ^ 2 #

Licznik # N_c # równa się liczbie kombinacji #2# wygrywając bilety z #3# dostępny # C_3 ^ 2 = (3!) / (2! * 1!) = 3 # pomnożone przez liczbę kombinacji #2# nie wygrane bilety z #4# dostępny # C_4 ^ 2 = (4!) / (2! * 2!) = 6 #.

Licznik jest

# N_c = C_3 ^ 2 * C_4 ^ 2 = 3 * 6 = 18 #

Mianownik to

# N = C_7 ^ 4 = (7!) / (4! * 3!) = 35 #

Tak więc prawdopodobieństwo zdarzenia (c) jest

# P_c = N_c / N = (3 * 6) / 35 = 18/35 #

Podobnie jest w przypadku (d)

# N_d = C_3 ^ 3 * C_4 ^ 1 = 1 * 4 = 4 #

# P_d = N_d / N = 4/35 #

Suma prawdopodobieństw zdarzeń (c) i (d) wynosi

# P = P_c + P_d = 18/35 + 4/35 = 22/35 #