Jakie jest znaczenie pochodnej częściowej? Podaj przykład i pomóż mi zrozumieć w skrócie.

Odpowiedź:

Zobacz poniżej.

Wyjaśnienie:

Mam nadzieję, że to pomoże.

Częściowa pochodna jest nierozerwalnie związana z całkowitą zmiennością.

Załóżmy, że mamy funkcję #f (x, y) # i chcemy wiedzieć, jak bardzo się zmienia, gdy wprowadzamy przyrost każdej zmiennej.

Naprawianie pomysłów, tworzenie #f (x, y) = k x y # chcemy wiedzieć, ile to jest

#df (x, y) = f (x + dx, y + dy) -f (x, y) #

W naszym przykładzie funkcji mamy

#f (x + dx, y + dy) = k (x + dx) (y + dy) = k x y + k x dx + k y dy + k dx dy #

i wtedy

#df (x, y) = k x y + k x dx + k y dy + k dx dy-k x y = k x dx + k y dy + k dx dy #

Wybór #dx, dy # arbitralnie mały wtedy #dx dy około 0 # i wtedy

#df (x, y) = k x dx + k y dy #

ale ogólnie

#df (x, y) = f (x + dx, y + dy) -f (x, y) = 1/2 (2 f (x + dx, y + dy) -2f (x, y) + f (x + dx, y) -f (x + dx, y) + f (x, y + dy) -f (x, y + dy)) = #

# = 1/2 (f (x + dx, y) -f (x, y)) / dx dx +1/2 (f (x, y + dy) -f (x, y)) / dy dy + #

# + 1/2 (f (x + dx, y + dy) -f (x, y + dy)) / dx dx + 1/2 (f (x + dx, y + dy) -f (x + dx, y)) / dy dy #

teraz robię #dx, dy # arbitralnie małe mamy

#df (x, y) = 1/2 (2f_x (x, y) dx + 2f_y (x, y) dy) = f_x (x, y) dx + f_y (x, y) dy #

więc możemy obliczyć całkowitą zmienność dla danej funkcji, obliczając pochodne cząstkowe #f_ (x_1), f_ (x_2), cdots, f_ (x_n) # i składanie

#df (x_1, x_2, cdots, x_n) = f_ (x_1) dx_1 + cdots + f_ (x_n) dx_n #

Tutaj ilości #f_ (x_i) # są nazywane pochodnymi cząstkowymi i mogą być również reprezentowane jako

# (częściowy f) / (częściowy x_i) #

W naszym przykładzie

#f_x = (częściowy f) / (częściowy x) = k x # i

#f_y = (częściowy f) / (częściowy y) = k y #

UWAGA

#f_x (x, y) = lim _ ((dx-> 0), (dy-> 0)) (f (x + dx, y) -f (x, y)) / dx = lim _ ((dx-> 0), (dy-> 0)) (f (x + dx, y + dy) -f (x, y)) / dx #

#f_y (x, y) = lim _ ((dx-> 0), (dy-> 0)) (f (x, y + dy) -f (x, y)) / dy = lim _ ((dx-> 0), (dy-> 0)) (f (x + dx, y + dy) -f (x, y)) / dy #

Odpowiedź:

Zobacz poniżej.

Wyjaśnienie:

Aby uzupełnić odpowiedź Cesareo powyżej, przedstawię mniej matematycznie rygorystyczną definicję wprowadzającą.

Częściowa pochodna, luźno mówiąc, mówi nam, jak bardzo zmieni się funkcja wielu zmiennych gdy trzymasz inne zmienne stałe. Załóżmy na przykład, że dano nam

#U (A, t) = A ^ 2t #

Gdzie # U # jest funkcją użyteczności (szczęścia) danego produktu, #ZA# to ilość produktu i # t # to czas, w którym produkt jest używany.

Załóżmy, że firma, która produkuje produkt, chciałaby wiedzieć, o ile więcej energii może uzyskać z niego, jeśli zwiększy żywotność produktu o 1 jednostkę. Częściowa pochodna powie firmie tę wartość.

Częściowa pochodna jest ogólnie oznaczana małą literą greckiej litery delta (#częściowy#), ale są inne zapisy. Będziemy używać #częściowy# Na razie.

Jeśli staramy się ustalić, jak bardzo użyteczność produktu zmienia się wraz ze wzrostem czasu o 1 jednostkę, obliczamy pochodną cząstkową użyteczności w odniesieniu do czasu:

# (partialU) / (partialt) #

Aby obliczyć PD, trzymamy inne zmienne stałe. W tym przypadku traktujemy # A ^ 2 #, druga zmienna, jakby to była liczba. Przypomnijmy sobie z rachunku wprowadzającego, że pochodna stałej razy zmiennej jest tylko stałą. To ten sam pomysł: (częściowa) pochodna # A ^ 2 #, stała, czasy # t #zmienna jest tylko stałą:

# (partialU) / (partialt) = A ^ 2 #

W ten sposób 1 jednostka zwiększa czas, w którym produkt jest używany, wytwarza # A ^ 2 # więcej użyteczności. Innymi słowy, produkt staje się bardziej zadowalający, jeśli może być używany częściej.

Wiele można powiedzieć o pochodnych cząstkowych - w rzeczywistości całe kursy licencjackie i magisterskie mogą być poświęcone rozwiązywaniu tylko kilku typów równań obejmujących pochodne cząstkowe - ale podstawową ideą jest to, że pochodna cząstkowa mówi nam, ile wynosi jeden zmienne zmieniają się, gdy pozostałe pozostają takie same.