Pytanie # c7520

Odpowiedź:

Użyj tożsamości podwójnego kąta dla sinusa i okręgu jednostki, aby znaleźć rozwiązania # theta = -pi / 2, pi / 6, pi / 2, (5pi) / 6 #, i # (3pi) / 2 #.

Wyjaśnienie:

Po pierwsze, używamy ważnej tożsamości # sin2theta = 2sinthetacostheta #:

# sin2theta-costheta = 0 #

# -> 2sinthetacostheta-costheta = 0 #

Teraz możemy się liczyć # costheta #:

# 2sinthetacostheta-costheta = 0 #

# -> costheta (2sintheta-1) = 0 #

Korzystając z zerowej właściwości produktu, uzyskujemy rozwiązania:

# costheta = 0 "i" 2sintheta-1 = 0-> sintheta = 1/2 #

Więc kiedy # costheta = 0 # w przerwie # -pi / 2 <= theta <= (3pi) / 2 #? Rozwiązania można znaleźć za pomocą okręgu jednostkowego i właściwości funkcji cosinus:

#cos (-theta) = costheta #

Jeśli # theta = pi / 2 #, następnie:

#cos (-pi / 2) = cos (pi / 2) #

Wiemy o tym z okręgu jednostki #cos (pi / 2) = 0 #, co również oznacza #cos (-pi / 2) = 0 #; więc są dwa rozwiązania # -pi / 2 # i # pi / 2 #. Również krąg jednostek nam to mówi #cos ((3pi) / 2) = 0 #, więc mamy tam inne rozwiązanie.

Teraz na # sintheta = 1/2 #. Ponownie potrzebujemy okręgu jednostki, aby znaleźć nasze rozwiązania.

Wiemy z kręgu jednostki, że #sin (pi / 6) = 1/2 #, i #sin ((5pi) / 6) = 1/2 #, więc dodajemy # pi / 6 # i # (5pi) / 6 # do listy rozwiązań.

Na koniec zestawiliśmy wszystkie nasze rozwiązania: # theta = -pi / 2, pi / 6, pi / 2, (5pi) / 6 #, i # (3pi) / 2 #.

Koło jednostek