Jak znaleźć pochodną y = Arcsin ((3x) / 4)?

Odpowiedź:

# dy / dx = 3 / (sqrt (16 - (9x ^ 2))) #

Wyjaśnienie:

Musisz użyć reguły łańcucha. Przypomnij sobie, że wzór na to jest:

#f (g (x)) '= f' (g (x)) * g '(x) #

Chodzi o to, że najpierw bierzesz pochodną najbardziej zewnętrznej funkcji, a potem po prostu wkraczasz do środka.

Zanim zaczniemy, zidentyfikujmy wszystkie nasze funkcje w tym wyrażeniu. Mamy:

• #arcsin (x) #

• # (3x) / 4 #

#arcsin (x) # jest najbardziej zewnętrzną funkcją, więc zaczniemy od tego. Więc:

# dy / dx = kolor (niebieski) (d / dx arcsin (3x / 4) = 1 / (sqrt (1 - ((3x) / 4) ^ 2))) #

Zwróć uwagę, że wciąż to zachowujemy # ((3x) / 4) # tam. Pamiętaj, gdy używasz zasady łańcucha, odróżniasz zewnętrzną stronę, ale nadal zachowaj wewnętrzne funkcje podczas różnicowania zewnętrznych.

# (3x) / 4 # jest naszą następną najbardziej zewnętrzną funkcją, więc musimy również oznaczyć pochodną tego. Więc:

#color (szary) (dy / dx = d / dx arcsin (3x / 4) = 1 / (sqrt (1 - ((3x) / 4) ^ 2))) * kolor (niebieski) (d / dx ((3x) / 4)) #

# => dy / dx = 1 / (sqrt (1 - ((3x) / 4) ^ 2)) * (3/4) #

I to jest koniec części rachunku tego problemu! Pozostało tylko trochę uproszczenia, aby uporządkować to wyrażenie, a my kończymy na:

# => dy / dx = 3 / (sqrt (16 - (9x ^ 2))) #

Jeśli potrzebujesz dodatkowej pomocy na temat zasady łańcucha, zachęcam do obejrzenia niektórych moich filmów na ten temat:

Mam nadzieję, że to pomogło:)

Odpowiedź:

Dany: #color (niebieski) (y = f (x) = sin ^ (- 1) ((3x) / 4) #

#color (zielony) (d / (dx) sin ^ (- 1) ((3x) / 4) = 3 / sqrt (16-9x ^ 2) #

Wyjaśnienie:

Dany:

#color (niebieski) (y = f (x) = sin ^ (- 1) ((3x) / 4) #

Skład funkcji stosuje jedną funkcję do wyników innego:

Zauważ, że argument funkcji trygonometrycznej #sin ^ (- 1) ("") # jest także funkcją.

The Zasada łańcuchowa jest zasadą różnicowania składy funkcji jak ten, który mamy.

Zasada łańcuchowa:

#color (czerwony) (dy / (dx) = (dy / (du)) * ((du) / (dx)) ”” # (lub)

#color (niebieski) (d / (dx) f {g (x)} = f 'g (x) * g' x #

Dano nam

#color (niebieski) (y = f (x) = sin ^ (- 1) ((3x) / 4) #

Pozwolić, #f (x) = sin ^ (- 1) (u) "" i "" u = (3x) / 4 #

#color (zielony) (Krok 1 #

Rozróżnimy się

#f (x) = sin ^ (- 1) (u) "" # Funkcja.1

używając wspólny wynik pochodny:

#color (brązowy) (d / (dx) sin ^ (- 1) (x) = 1 / sqrt (1-x ^ 2 #

Korzystając z powyższego wyniku możemy rozróżnić Funkcja.1 powyżej jak

# d / (du) sin ^ (- 1) (u) = 1 / sqrt (1-u ^ 2) ”” # Wynik.1

#color (zielony) (krok 2 #

W tym kroku rozróżnimy funkcja wewnętrzna # (3x) / 4 #

# d / (dx) ((3x) / 4) #

Wyciągnij stałą

#rArr 3/4 * d / (dx) (x) #

#rArr 3/4 * 1 #

#rArr 3/4 #

#:. d / (dx) ((3x) / 4) = 3/4 ”” #Wynik.2

#color (zielony) (krok 3 #

Użyjemy tych dwóch wyniki pośrednie, Wynik.1 i Wynik.2 kontynuować.

Zaczniemy od, #color (zielony) (d / (dx) sin ^ (- 1) ((3x) / 4) = 1 / sqrt (1-u ^ 2) * (3/4) #

Zastąp z powrotem #color (brązowy) (u = ((3x) / 4) #

Następnie, #color (zielony) (d / (dx) sin ^ (- 1) ((3x) / 4) = 1 / sqrt (1 - ((3x) / 4) ^ 2) * (3/4) #

#rArr (3/4) * 1 / sqrt (1 - ((3x) / 4) ^ 2) #

#rArr (3/4) * 1 / sqrt (1 - ((9x ^ 2) / 16)) #

#rArr (3/4) * 1 / sqrt ((16-9x ^ 2) / 16) #

#rArr (3/4) * 1 / sqrt ((16-9x ^ 2) / (4 ^ 2)) #

#rArr (3/4) * 1 / (sqrt ((16-9x ^ 2)) / (sqrt ((4 ^ 2))) #

#rArr (3/4) * 1 / (sqrt ((16-9x ^ 2))) * 4 #

#rArr (3 / anuluj 4) * 1 / (sqrt ((16-9x ^ 2))) * anuluj 4 #

#rArr 3 / (sqrt ((16-9x ^ 2))) #

Dlatego nasza ostateczna odpowiedź może być napisana jako

#color (zielony) (d / (dx) sin ^ (- 1) ((3x) / 4) = 3 / sqrt (16-9x ^ 2) #