Pokaż, że 1 + 1 / sqrt2 + cdots + 1 / sqrtn> = sqrt2 (n-1), dla n> 1?

Odpowiedź:

Poniżej

Wyjaśnienie:

Aby pokazać, że nierówność jest prawdziwa, używasz indukcji matematycznej

# 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtn> = sqrt2 (n-1) # dla #n> 1 #

Krok 1: Udowodnij prawdę # n = 2 #

LHS =# 1 + 1 / sqrt2 #

RHS =# sqrt2 (2-1) = sqrt2 #

Od # 1 + 1 / sqrt2> sqrt2 #, następnie #LHS> RHS #. Dlatego jest to prawda # n = 2 #

Krok 2: Załóżmy, że to prawda # n = k # gdzie k jest liczbą całkowitą i #k> 1 #

# 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk> = sqrt2 (k-1) # --- (1)

Krok 3: Kiedy # n = k + 1 #,

RTP: # 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)> = sqrt2 (k + 1-1) #

to znaczy # 0> = sqrt2- (1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)) #

RHS

=# sqrt2- (1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)) #

#> = sqrt2- (sqrt2 (k-1) + 1 / sqrt (k + 1)) # z (1) przy założeniu

=# sqrt2-sqrt2 (k) + sqrt2-1 / sqrt (k + 1) #

=# 2sqrt2-sqrt2 (k) -1 / sqrt (k + 1) #

Od #k> 1 #, następnie # -1 / sqrt (k + 1) <0 # i od tego czasu # ksqrt2> = 2sqrt2> 0 #, następnie # 2sqrt2-ksqrt2 <0 # więc # 2sqrt2-sqrt2 (k) -1 / sqrt (k + 1) = <0 #

= LHS

Krok 4: Poprzez dowód indukcji matematycznej, ta nierówność jest prawdziwa dla wszystkich liczb całkowitych # n # Lepszy niż #1#

Nierówność jak wspomniano jest fałszywa.

Np. Dla #n = 3 #:

#underbrace (1 + 1 / sqrt2 + 1 / sqrt3) _ (około 2,3) cancel (> =) underbrace (sqrt2 (3-1)) _ (około 2,8) #

Sprzeczność.