Jakie są bezwzględne ekstrema f (x) = x / (x ^ 2 + 25) w przedziale [0,9]?

Odpowiedź:

maksimum absolutne: #(5, 1/10)#

absolutne minimum: #(0, 0)#

Wyjaśnienie:

Dany: #f (x) = x / (x ^ 2 + 25) „w interwale” 0, 9 #

Ekstrema bezwzględne można znaleźć poprzez ocenę punktów końcowych i znalezienie wszelkich względnych maksimów lub minimów i porównanie ich # y #-wartości.

Oceń punkty końcowe:

#f (0) = 0/25 = 0 => (0, 0) #

#f (9) = 9 / (9 ^ 2 + 25) = 9 / (81 + 25) = 9/106 => (9, 9/106) ~~ (9, 0,085) #

Znajdź dowolne minimalne lub maksymalne wartości przez ustawienie #f '(x) = 0 #.

Użyj reguły ilorazu: # (u / v) '= (vu' - uv ') / v ^ 2 #

Pozwolić #u = x; „„ u ”= 1; "" v = x ^ 2 + 25; "" v '= 2x #

#f '(x) = ((x ^ 2 + 25) (1) - x (2x)) / (x ^ 2 + 25) ^ 2 #

#f '(x) = (-x ^ 2 + 25) / (x ^ 2 + 25) ^ 2 = 0 #

Od # (x ^ 2 + 25) ^ 2 * 0 = 0 #, musimy tylko ustawić licznik = 0

# -x ^ 2 + 25 = 0 #

# x ^ 2 = 25 #

wartości krytyczne: # x = + - 5 #

Ponieważ nasz interwał jest #0, 9#, musimy tylko spojrzeć #x = 5 #

#f (5) = 5 / (5 ^ 2 + 25) = 5/50 = 1/10 => (5, 1/10) #

Korzystając z pierwszego testu pochodnego, ustaw interwały, aby dowiedzieć się, czy ten punkt jest względnym maksimum lub względnym minimum:

interwały: #' '(0, 5),' ' (5, 9)#

wartości testowe: # "" x = 1, "" x = 6 #

#f '(x): "" f' (1)> 0, f '(6) <0 #

To znaczy w #f (5) # mamy względne maksimum. To staje się absolutnym maksimum w przedziale #0, 9#, ponieważ # y #-wartość punktu #(5, 1/10) = (5, 0.1)# jest najwyższy # y #-wartość w przedziale.

** Bezwzględne minimum występuje na najniższym # y #-wartość w punkcie końcowym #(0,0)**.#