Dlaczego musisz znaleźć trygonometryczną postać liczby zespolonej?

W zależności od tego, co musisz zrobić ze swoimi liczbami złożonymi, forma trygonometryczna może być bardzo przydatna lub bardzo drażliwa.

Na przykład niech # z_1 = 1 + i #, # z_2 = sqrt (3) + i # i # z_3 = -1 + i sqrt {3} #.

Obliczmy dwie formy trygonometryczne:

# theta_1 = arctan (1) = pi / 4 # i # rho_1 = sqrt {1 + 1} = sqrt {2} #

# theta_2 = arctan (1 / sqrt {3}) = pi / 6 # i # rho_2 = sqrt {3 + 1} = 2 #

# theta_3 = pi + arctan (-sqrt {3}) = 2/3 pi # i # rho_3 = sqrt {1 + 3} = 2 #

Tak więc formy trygonometryczne to:

# z_1 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + i sin (pi / 4)) #

# z_2 = 2 (cos (pi / 6) + i sin (pi / 6)) #

# z_3 = 2 (cos (2/3 pi) + ja grzech (2/3 pi)) #

Dodanie

Powiedzmy, że chcesz obliczyć # z_1 + z_2 + z_3 #. Jeśli użyjesz formy algebraicznej, otrzymasz

# z_1 + z_2 + z_3 = (1 + i) + (sqrt {3} + i) + (- 1 + i sqrt {3}) = sqrt {3} + i (2 + sqrt {3}) #

Raczej latwo. Teraz spróbuj z formą trygonometryczną …

# z_1 + z_2 + z_3 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + i sin (pi / 4)) + 2 (cos (pi / 6) + i sin (pi / 6)) + 2 (cos (2/3 pi) + ja grzech (2/3 pi)) #

okazuje się, że najkrótszym sposobem dodania tych dwóch wyrażeń jest rozwiązanie cosinusów i sinusów, co oznacza … przejście do formy algebraicznej!

Forma algebraiczna jest często najlepszą formą dodawania liczb złożonych.

Mnożenie

Teraz próbujemy obliczyć # z_1 * z_2 * z_3 #. Używanie form algebraicznych wymaga wielu irytujących obliczeń. Ale rozwiązanie tego produktu za pomocą form trygonometrycznych jest prostsze:

# z_1 * z_2 * z_3 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + i sin (pi / 4)) * 2 (cos (pi / 6) + i sin (pi / 6)) * 2 (cos (2/3 pi) + i sin (2/3 pi)) = 4 sqrt {2} (cos (pi / 4 + pi / 6 + 2/3 pi) + i sin (pi / 4 + pi / 6 + 2 / 3 pi)) = 4 sqrt {2} (cos (13/12 pi) + i sin (13/12 pi)) #

Składniki, które mają udowodnić, że drugie utrzymywanie równości pochodzi z trygonometrii: dwie wzory dodatkowe

#sin (alfa + beta) = sin (alfa) cos (beta) + sin (beta) cos (alfa) #

#cos (alfa + beta) = cos (alfa) cos (beta) -sin (alfa) sin (beta) #

Mnożenie liczb zespolonych jest jeszcze czystsze (ale koncepcyjnie nie łatwiejsze) w formie wykładniczej.

W pewnym sensie forma trygonometryczna jest rodzajem formy pośredniej między formą algebraiczną i wykładniczą. Forma trygonometryczna jest sposobem na przełączanie się między tymi dwoma. W tym sensie jest to rodzaj „słownika” do „tłumaczenia” formularzy.