Jaka jest najmniejsza liczba całkowita n taka, że n! = m cdot 10 ^ (2016)?

Odpowiedź:

# n = 8075 #

Wyjaśnienie:

Pozwolić #v_p (k) # bądź wielością # p # jako czynnik # k #. To jest, #v_p (k) # jest największą liczbą całkowitą taką, że # p ^ (v_p (k)) | k #.

Obserwacje:

Dla każdego #k w ZZ ^ + # i # p # pierwszorzędny, mamy #v_p (k!) = sum_ (i = 1) ^ k v_p (i) #

(Można to łatwo udowodnić poprzez indukcję)
Dla dowolnej liczby całkowitej #k> 1 #, mamy # v_2 (k!)> v_5 (k!) #.

(Jest to intuicyjne, jako wielokrotność mocy #2# występują częściej niż wielokrotności równoważnych mocy #5#i może być udowodnione rygorystycznie przy użyciu podobnego argumentu)
Dla #j, kw ZZ ^ + #, mamy #j | k <=> v_p (j) <= v_p (k) # dla każdego głównego dzielnika # p # z #jot#.

Kontynuując, naszym celem jest znalezienie najmniejszej liczby całkowitej # n # takie # 10 ^ 2016 | n! #. Tak jak # 10 ^ 2016 = 2 ^ 2016xx5 ^ 2016 #, następnie przez trzecią obserwację musimy tylko to potwierdzić # 2016 <= v_2 (n!) # i # 2016 <= v_5 (n!) #. Druga obserwacja oznacza, że ta druga implikuje pierwszą. Zatem wystarczy znaleźć najmniejszą liczbę całkowitą # n # takie # v_5 (n!) = sum_ (i = 1) ^ nv_5 (i)> = 2016 #.

Znaleźć # n # zrobimy obserwację, która pozwoli nam obliczyć # v_5 (5 ^ k!) #.

pomiędzy #1# i # 5 ^ k #, tam są # 5 ^ k / 5 # wielokrotności #5#, z których każdy przyczynia się przynajmniej #1# do sumy #sum_ (i = 1) ^ (5 ^ k) v_5 (i) #. Istnieje również # 5 ^ k / 25 # wielokrotności #25#, z których każdy stanowi dodatkowy #1# do sumy po początkowym zliczeniu. Możemy postępować w ten sposób, dopóki nie osiągniemy pojedynczej wielokrotności # 5 ^ k # (który jest # 5 ^ k # sam), który przyczynił się # k # razy do sumy. Obliczamy sumę w ten sposób

# v_5 (5 ^ k!) = sum_ (i = 1) ^ (5 ^ k) v_5 (i) = suma (i = 1) ^ (k) 5 ^ k / 5 ^ i = suma (i = 1) ^ k5 ^ (ki) = sum_ (i = 0) ^ (k-1) 5 ^ i = (5 ^ k-1) / (5-1) #

Tak więc znajdujemy to # v_5 (5 ^ k!) = (5 ^ k-1) / 4 #

Wreszcie znajdziemy # n # takie # v_5 (n!) = 2016 #. Jeśli obliczymy # v_5 (5 ^ k!) # dla kilku wartości # k #, znaleźliśmy

# v_5 (5 ^ 1) = 1 #

# v_5 (5 ^ 2) = 6 #

# v_5 (5 ^ 3) = 31 #

# v_5 (5 ^ 4) = 156 #

# v_5 (5 ^ 5) = 781 #

Tak jak #2016 = 2(781)+2(156)+4(31)+3(6)#, # n # potrzebuje dwóch „bloków” #5^5#, dwa z #5^4#, cztery z #5^3#i trzy z #5^2#. Tak więc dostajemy

#n = 2 (5 ^ 5) +2 (5 ^ 4) +4 (5 ^ 3) +3 (5 ^ 2) = 8075 #

Komputer może szybko to sprawdzić #sum_ (i = 1) ^ (8075) v_5 (i) = 2016 #. A zatem #10^2016 | 8075!#, i jako #5|8075!# z wielością #2016# i #5|8075#, jasne jest, że nie wystarczy mniejsza wartość.

Suma -7 razy liczba i 8 razy suma liczby i 1 jest taka sama jak liczba minus 7. Jaka jest liczba?

X nie ma wartości. Nie ma rozwiązania tego równania. To pytanie jest niezłe za jednym zamachem! Podziel go na części, ale skąd wiemy, co należy do siebie? „SUM” oznacza, że musisz DODAĆ - jest zawsze używane ze słowem „ORAZ” Suma „...... coś .....” ORAZ „… coś…” Ale słowo „suma” pojawia się dwukrotnie. ..Tak więc będziemy musieli dodać dwie liczby razem, a następnie dodać tę odpowiedź do innego numeru. TIMES oznacza pomnożone przez. Napisz angielskie słowa jako wyrażenia matematyczne. Niech liczba będzie wynosić x [SUMA (-7 razy liczba)] kolor (biały) (xxxxxxxx) rarr (-7xx x) ORAZ kolor (biały) (xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

Jaka jest liczba rzeczywista, liczba całkowita, liczba całkowita, liczba wymierna i liczba niewymierna?

Wyjaśnienie Poniżej Liczby wymierne występują w 3 różnych formach; liczby całkowite, ułamki i kończące lub powtarzające się dziesiętne, takie jak 1/3. Liczby irracjonalne są dość „bałaganiarskie”. Nie mogą być zapisywane jako ułamki, są niekończące się, nie powtarzające się dziesiętne. Przykładem tego jest wartość π. Liczbę całkowitą można nazwać liczbą całkowitą i jest liczbą dodatnią lub ujemną albo zerem. Przykładem tego jest 0, 1 i -365.

Czy liczba rzeczywista sqrt21, liczba wymierna, liczba całkowita, liczba całkowita, liczba irracyjna?

Jest to liczba irracjonalna, a zatem prawdziwa. Najpierw udowodnijmy, że sqrt (21) jest liczbą rzeczywistą, w rzeczywistości pierwiastek kwadratowy wszystkich pozytywnych liczb rzeczywistych jest rzeczywisty. Jeśli x jest liczbą rzeczywistą, to definiujemy dla liczb dodatnich sqrt (x) = "sup" {yinRR: y ^ 2 <= x}. Oznacza to, że patrzymy na wszystkie rzeczywiste liczby y takie, że y ^ 2 <= x i przyjmujemy najmniejszą liczbę rzeczywistą, która jest większa niż wszystkie te y, tzw. Supremum. W przypadku liczb ujemnych te y nie istnieją, ponieważ dla wszystkich liczb rzeczywistych przyjmowanie kwadratu tej