Odpowiedź:
# x = arctan (-3) + 180 ^ circ k lub x = -45 ^ circ + 180 ^ circ k quad # dla liczby całkowitej # k. #
Wyjaśnienie:
Pracowałem nad tym na dwa różne sposoby, ale myślę, że ta trzecia droga jest najlepsza. Istnieje kilka formuł podwójnego kąta dla cosinusa. Nie dajmy się skusić żadnemu z nich. Unikajmy również równań kwadratowych.
#cos 2x + 2 sin 2x + 2 = 0 #
#cos 2x + 2 sin 2x = -2 #
Liniowa kombinacja cosinusa i sinusu to cosinus z przesunięciem fazowym.
Pozwolić # r = sqrt {1 ^ 2 + 2 ^ 2} # i
# theta = tekst {łuk} tekst {tan} (2/1) #
W pierwszej ćwiartce wskazałem główną styczną odwrotną # theta = 63.4 ^ circ #. Jesteśmy pewni
#r cos theta = sqrt {5} (1 / srt {5}) = 1 #
# r sin theta = sqrt {5} (2 / srt {5}) = 2 #
Możemy więc przepisać nasze równanie
#sqrt {5} ((1 / srt {5}) cos 2x + (2 / srt {5}) sin 2x) = -2 #
# (1 / srt {5}) cos 2x + (2 / srt {5}) sin 2x = -2 / sqrt {5} #
# cos 2x cos theta + sin 2x sin theta = -2 / sqrt {5} #
#cos (2x - theta) = sin (-theta) #
#cos (2x - theta) = cos (90 ^ circ + theta) #
Zawsze pamiętaj o ogólnym rozwiązaniu #cos x = cos a # jest # x = pm a + 360 ^ circ k quad # dla liczby całkowitej # k #.
# 2x - theta = pm (90 ^ circ + theta) + 360 ^ circ k #
# 2x = theta pm (90 ^ circ + theta) + 360 ^ circ k #
# x = theta / 2 pm (45 ^ circ + theta / 2) + 180 ^ circ k #
Zabieranie znaków pojedynczo, # x = theta + 45 ^ circ + 180 ^ circ k lub x = -45 ^ circ + 180 ^ circ k #
#phi = theta + 45 ^ circ # jest stałą, którą możemy próbować uzyskać dla lepszego wyrażenia:
#tan (phi) = tan (arctan (2) + 45 ^ circ) #
# = {tan arctan (2) + tan (45 ^ circ)} / {1- tan (arctan (2)) tan (45 ^ circ)} = {2 + 1} / {1 - 2} = -3 #
Wiemy # phi # jest w drugiej ćwiartce, a nie w zwykłym zakresie wartości głównej.
#phi = tekst {łuk} tekst {tan} (- 3) + 180 ^ circ #
Okazuje się, że to nie ma znaczenia, ponieważ dodajemy # 180 ^ circ k # do # phi # w ogólnym rozwiązaniu. Kładąc wszystko razem, # x = arctan (-3) + 180 ^ circ k lub x = -45 ^ circ + 180 ^ circ k #
Nie musimy być skrupulatni co do głównej wartości arctan; odkąd dodajemy # 180 ^ circ k # zrobi to każda wartość. Moglibyśmy napisać pierwszy # x = arctan (-3) # z # 180 ^ circ k # dorozumiany, ale zostawmy to tutaj.
