Jak udowodnić: secx - cosx = sinx tanx?

Korzystanie z definicji # secx # i # tanx #, wraz z tożsamością

# sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #, mamy

# secx-cosx = 1 / cosx-cosx #

# = 1 / cosx-cos ^ 2x / cosx #

# = (1-cos ^ 2x) / cosx #

# = sin ^ 2x / cosx #

# = sinx * sinx / cosx #

# = sinxtanx #

Odpowiedź:

Najpierw zmień wszystkie warunki na # sinx # i # cosx #.

Po drugie zastosuj zasady sumy ułamkowej do LHS.

Wreszcie stosujemy tożsamość pitagorejską: # sin ^ 2 x + cos ^ 2 x = 1 #

Wyjaśnienie:

Po pierwsze w pytaniach dotyczących tych formularzy, dobrym pomysłem jest przekonwertowanie wszystkich terminów na sinus i cosinus: więc zastąp #tan x # z #sin x / cos x #

i zastąp #sec x # z # 1 / cos x #.

LHS, #sec x- cos x # staje się # 1 / cos x- cos x #.

RHS, # sin x tan x # staje się #sin x sin x / cos x # lub # sin ^ 2 x / cos x #.

Teraz stosujemy zasady sumy ułamkowej do LHS, tworząc wspólną bazę (podobnie jak ułamek liczbowy jak #1/3 +1/4 => 4/12 + 3/12 = 7/12)#.

LHS =# 1 / cos x- cos x => 1 / cos x- cos ^ 2 x / cos x => {1 - cos ^ 2 x} / cos x #.

Wreszcie stosujemy tożsamość pitagorejską: # sin ^ 2 x + cos ^ 2 x = 1 #! (jedna z najbardziej użytecznych tożsamości dla tego typu problemów).

Przestawiając to otrzymujemy # 1- cos ^ 2 x = sin ^ 2 x #.

Zastępujemy # 1- cos ^ 2 x # w LHS z # sin ^ 2 x #.

LHS = # {1 - cos ^ 2 x} / cos x => {sin ^ 2 x} / cos x # który jest równy zmodyfikowanemu RHS.

Tak więc LHS = RHS Q.E.D.

Zauważ, że ten ogólny wzorzec uzyskiwania rzeczy w kategoriach sinus i cosinus, przy użyciu reguł frakcji i tożsamości pitagorejskiej, często rozwiązuje tego typu pytania.

Jeśli tego pragniemy, możemy również zmodyfikować prawą stronę, aby pasowała do lewej strony.

Powinniśmy pisać # sinxtanx # pod względem # sinx # i # cosx #, używając tożsamości #color (czerwony) (tanx = sinx / cosx) #:

# sinxtanx = sinx (sinx / cosx) = sin ^ 2x / cosx #

Teraz używamy tożsamości pitagorejskiej # sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #. Możemy zmodyfikować to, aby rozwiązać # sin ^ 2x #, więc: #color (czerwony) (sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x) #:

# sin ^ 2x / cosx = (1-cos ^ 2x) / cosx #

Teraz podziel się licznikiem:

# (1-cos ^ 2x) / cosx = 1 / cosx-cos ^ 2x / cosx = 1 / cosx-cosx #

Użyj wzajemnej tożsamości #color (czerwony) (secx = 1 / cosx #:

# 1 / cosx-cosx = secx-cosx #

Odpowiedź:

To naprawdę takie proste …

Wyjaśnienie:

Korzystanie z tożsamości # tanx = sinx / cosx #, pomnóż # sinx # na tożsamość, aby uzyskać:

# secx-cosx = sin ^ 2x / cosx #

Potem mnożyć # cosx # przez równanie, aby uzyskać:

# 1-cos ^ 2x = sin ^ 2x #

Biorąc pod uwagę, że # secx # jest odwrotnością # cosx #.

Wreszcie, używając tożsamości trygonometrycznej # 1-cos ^ 2x = sin ^ 2x #ostateczna odpowiedź brzmi:

# sin ^ 2x = sin ^ 2x #