Jak udowodnić Tan ^ 2 (x / 2 + Pi / 4) = (1 + sinx) / (1-sinx)?

Odpowiedź:

Dowód poniżej (to długa)

Wyjaśnienie:

Pracuję nad tym wstecz (ale pisanie tego dalej również będzie działać):

# (1 + sinx) / (1-sinx) = (1 + sinx) / (1-sinx) * (1 + sinx) / (1 + sinx) #

# = (1 + sinx) ^ 2 / (1-sin ^ 2x) #

# = (1 + sinx) ^ 2 / cos ^ 2x #

# = ((1 + sinx) / cosx) ^ 2 #

Potem zastąpił w # t # wzór (wyjaśnienie poniżej)

# = ((1+ (2t) / (1 + t ^ 2)) / ((1-t ^ 2) / (1 + t ^ 2))) ^ 2 #

# = (((1 + t ^ 2 + 2t) / (1 + t ^ 2)) / ((1-t ^ 2) / (1 + t ^ 2))) ^ 2 #

# = ((1 + t ^ 2 + 2t) / (1-t ^ 2)) ^ 2 #

# = ((1 + 2t + T ^ 2) / (1-t ^ 2)) ^ 2 #

# = ((1 + t) ^ 2 / (1-t ^ 2)) ^ 2 #

# = ((1 + t) ^ 2 / ((1-t) (1 + t))) ^ 2 #

# = ((1 + t) / (1-t)) ^ 2 #

# = ((1 + tan (x / 2)) / (1-tan (x / 2))) ^ 2 #

# = ((tan (pi / 4) + tan (x / 2)) / (1-tan (x / 2) tan (pi / 4))) ^ 2 # Należy pamiętać, że: (#tan (pi / 4) = 1) #

# = (tan (x / 2 + pi / 4)) ^ 2 #

# = tan ^ 2 (x / 2 + pi / 4) #

T FORMUŁY DO TEJ RÓWNOŚCI:

# sinx = (2t) / (1-t ^ 2) #, # cosx = (1-t ^ 2) / (1 + t ^ 2) #, gdzie # t = tan (x / 2) #

Jak udowodnić (1 + sinx-cosx) / (1 + cosx + sinx) = tan (x / 2)?

Patrz poniżej. LHS = (1-cosx + sinx) / (1 + cosx + sinx) = (2sin ^ 2 (x / 2) + 2sin (x / 2) * cos (x / 2)) / (2cos ^ 2 (x / 2) + 2sin (x / 2) * cos (x / 2) = (2sin (x / 2) [sin (x / 2) + cos (x / 2)]) / (2cos (x / 2) * [ sin (x / 2) + cos (x / 2)]) = tan (x / 2) = RHS

Jak udowodnić (cosx / (1 + sinx)) + ((1 + sinx) / cosx) = 2sekx?

Konwertuj lewą stronę na terminy ze wspólnym mianownikiem i dodaj (po drodze konwertując cos ^ 2 + sin ^ 2 na 1); uprościć i odnieść się do definicji sec = 1 / cos (cos (x) / (1 + sin (x))) + ((1 + sin (x)) / cos (x)) = (cos ^ 2 (x) + 1 + 2 sin (x) + sin ^ 2 (x)) / (cos (x) (1 + sin (x) = (2 + 2 sin (x)) / (cos (x) (1 + sin (x) ) = 2 / cos (x) = 2 * 1 / cos (x) = 2 sek (x)

Jak udowodnić tan (x / 2) = sinx + cosxcotx-cotx?

Rozwijaj prawą stronę. Wiemy, że tan (x / 2) = (1 - cos (x)) / sin (x). Rozwijamy więc prawą stronę równości. łóżeczko (x) = 1 / tan (x) tak: sin (x) + cos (x) łóżeczko (x) - łóżeczko (x) = (sin ^ 2 (x) + cos ^ 2 (x) - cos (x )) / sin (x) = (1-cos (x)) / sin (x) = tan (x / 2).