Jakie jest równanie linii stycznej f (x) = (x-3) / (x-4) ^ 2 przy x = 5?

Jakie jest równanie linii stycznej f (x) = (x-3) / (x-4) ^ 2 przy x = 5?
Anonim

Równanie linii stycznej ma postać:

y = kolor (pomarańczowy) (a) x + kolor (fioletowy) (b)

gdzie za jest nachyleniem tej linii prostej.

Aby znaleźć nachylenie tej linii stycznej do f (x) W punkcie x = 5 powinniśmy różnicować f (x)

f (x) jest ilorazową funkcją formularza (u (x)) / (v (x))

gdzie u (x) = x-3 i v (x) = (x-4) ^ 2

color (niebieski) (f '(x) = (u' (x) v (x) -v ”(x) u (x)) / (v (x)) ^ 2)

u '(x) = x'-3'

color (czerwony) (u '(x) = 1)

v (x) jest funkcją złożoną, więc musimy zastosować regułę łańcucha

pozwolić g (x) = x ^ 2 i h (x) = x-4

v (x) = g (h (x))

color (czerwony) (v '(x) = g ”(h (x)) * h' (x))

g '(x) = 2x następnie

g '(h (x)) = 2 (h (x)) = 2 (x-4)

h '(x) = 1

color (czerwony) (v '(x) = g ”(h (x)) * h' (x))

color (czerwony) (v '(x) = 2 (x-4)

color (niebieski) (f '(x) = (u' (x) v (x) -v ”(x) u (x)) / (v (x)) ^ 2)

f '(x) = (1 * (x-4) ^ 2-2 (x-4) (x-3)) / ((x-4) ^ 2) ^ 2

f '(x) = ((x-4) ^ 2-2 (x-4) (x-3)) / (x-4) ^ 2

f '(x) = ((x-4) (x-4-2 (x-3))) / (x-4) ^ 4

f '(x) = ((x-4) (x-4-2x + 6)) / (x-4) ^ 4

f '(x) = ((x-4) (- x + 2)) / (x-4) ^ 4

uproszczenie wspólnego czynnika x-4 między licznikiem a mianownikiem

color (niebieski) (f '(x) = (- x + 2) / (x-4) ^ 3)

Ponieważ linia styczna przechodzi przez punkt x = 5 więc możemy znaleźć wartość nachylenia za zastępując x = 5 w f '(x)

color (pomarańczowy) (a = f '(5))

a = (- 5 + 2) / (5-4) ^ 3

a = -3 / 1 ^ 3

color (pomarańczowy) (a = -3)

Biorąc pod uwagę odciętą punktu styczności color (brązowy) (x = 5) pozwala

znajdźmy jego rzędną y = f (5)

color (brązowy) (y = f (5)) = (5-3) / (5-4) ^ 4

y = 2/1

color (brązowy) (y = 2)

Posiadanie współrzędnych punktu styczności color (brązowy) ((5; 2)) i nachylenie color (pomarańczowy) (a = -3) znajdźmy color (fioletowy) (b)

pozwala zastąpić wszystkie znane wartości w równaniu linii stycznej, aby znaleźć wartość color (fioletowy) (b)

color (brązowy) (y) = kolor (pomarańczowy) (a) kolor (brązowy) (x) + kolor (fioletowy) (b)

2 = -3 (5) + kolor (fioletowy) (b)

2 = -15 + kolor (fioletowy (b)

17 = kolor (fioletowy) (b)

dlatego równanie linii stycznej w punkcie color (brązowy) ((5; 2)) jest:

y = -3x + 17