Jakie jest równanie linii stycznej f (x) = (x-3) / (x-4) ^ 2 przy x = 5?

Równanie linii stycznej ma postać:

# y = kolor (pomarańczowy) (a) x + kolor (fioletowy) (b) #

gdzie #za# jest nachyleniem tej linii prostej.

Aby znaleźć nachylenie tej linii stycznej do #f (x) # W punkcie # x = 5 # powinniśmy różnicować #f (x) #

#f (x) # jest ilorazową funkcją formularza # (u (x)) / (v (x)) #

gdzie #u (x) = x-3 # i #v (x) = (x-4) ^ 2 #

#color (niebieski) (f '(x) = (u' (x) v (x) -v ”(x) u (x)) / (v (x)) ^ 2) #

#u '(x) = x'-3' #

#color (czerwony) (u '(x) = 1) #

#v (x) # jest funkcją złożoną, więc musimy zastosować regułę łańcucha

pozwolić #g (x) = x ^ 2 # i #h (x) = x-4 #

#v (x) = g (h (x)) #

#color (czerwony) (v '(x) = g ”(h (x)) * h' (x)) #

#g '(x) = 2x # następnie

#g '(h (x)) = 2 (h (x)) = 2 (x-4) #

#h '(x) = 1 #

#color (czerwony) (v '(x) = g ”(h (x)) * h' (x)) #

#color (czerwony) (v '(x) = 2 (x-4) #

#color (niebieski) (f '(x) = (u' (x) v (x) -v ”(x) u (x)) / (v (x)) ^ 2) #

#f '(x) = (1 * (x-4) ^ 2-2 (x-4) (x-3)) / ((x-4) ^ 2) ^ 2 #

#f '(x) = ((x-4) ^ 2-2 (x-4) (x-3)) / (x-4) ^ 2 #

#f '(x) = ((x-4) (x-4-2 (x-3))) / (x-4) ^ 4 #

#f '(x) = ((x-4) (x-4-2x + 6)) / (x-4) ^ 4 #

#f '(x) = ((x-4) (- x + 2)) / (x-4) ^ 4 #

uproszczenie wspólnego czynnika # x-4 # między licznikiem a mianownikiem

#color (niebieski) (f '(x) = (- x + 2) / (x-4) ^ 3) #

Ponieważ linia styczna przechodzi przez punkt # x = 5 # więc możemy znaleźć wartość nachylenia #za# zastępując # x = 5 # w # f '(x) #

#color (pomarańczowy) (a = f '(5)) #

#a = (- 5 + 2) / (5-4) ^ 3 #

# a = -3 / 1 ^ 3 #

#color (pomarańczowy) (a = -3) #

Biorąc pod uwagę odciętą punktu styczności #color (brązowy) (x = 5) # pozwala

znajdźmy jego rzędną # y = f (5) #

#color (brązowy) (y = f (5)) = (5-3) / (5-4) ^ 4 #

# y = 2/1 #

#color (brązowy) (y = 2) #

Posiadanie współrzędnych punktu styczności #color (brązowy) ((5; 2)) # i nachylenie #color (pomarańczowy) (a = -3) # znajdźmy #color (fioletowy) (b) #

pozwala zastąpić wszystkie znane wartości w równaniu linii stycznej, aby znaleźć wartość #color (fioletowy) (b) #

#color (brązowy) (y) = kolor (pomarańczowy) (a) kolor (brązowy) (x) + kolor (fioletowy) (b) #

# 2 = -3 (5) + kolor (fioletowy) (b) #

# 2 = -15 + kolor (fioletowy (b) #

# 17 = kolor (fioletowy) (b) #

dlatego równanie linii stycznej w punkcie #color (brązowy) ((5; 2)) # jest:

# y = -3x + 17 #

Jakie jest równanie linii stycznej f (x) = 6x-x ^ 2 przy x = -1?

Patrz poniżej: Pierwszym krokiem jest znalezienie pierwszej pochodnej f. f (x) = 6x-x ^ 2 f '(x) = 6-2x Stąd: f' (- 1) = 6 + 2 = 8 Wartość 8 jest taka, że jest to gradient f gdzie x = - 1 Jest to również gradient linii stycznej, która dotyka wykresu f w tym punkcie. Zatem nasza funkcja liniowa jest obecnie y = 8x. Musimy jednak również znaleźć punkt przecięcia z osią y, ale aby to zrobić, potrzebujemy również współrzędnej y punktu, w którym x = -1. Podłącz x = -1 do f. f (-1) = - 6- (1) = - 7 Więc punkt na linii stycznej to (-1, -7) Teraz, używając formuły gradientu, możemy znaleźć r&

Jakie jest równanie linii stycznej f (x) = sqrt (x ^ 2e ^ x) przy x = 3?

Y = 11,2x-20,2 Lub y = (5e ^ (3/2)) / 2x-2e ^ (3/2) y = e ^ (3/2) ((5x) / 2-2) Mamy: f (x) = (x ^ 2e ^ x) ^ (1/2) f '(x) = (x ^ 2e ^ x) ^ (- 1/2) / 2 * d / dx [x ^ 2e ^ x] f '(x) = (x ^ 2e ^ x) ^ (- 1/2) / 2 * (2xe ^ x + x ^ 2e ^ x) f' (x) = ((2xe ^ x + x ^ 2e ^ x) (x ^ 2e ^ x) ^ (- 1/2)) / 2 f '(x) = (2xe ^ x + x ^ 2e ^ x) / (2 (x ^ 2e ^ x) ^ (1 / 2)) = (2xe ^ x + x ^ 2e ^ x) / (2sqrt (x ^ 2e ^ x)) f '(3) = (2 (3) e ^ 3 + 3 ^ 2e ^ 3) / (2sqrt (3 ^ 2e ^ 3)) = (5e ^ (3/2)) / 2 ~~ 11.2 y = mx + cf (3) = sqrt (9e ^ 3) = 3e ^ (3/2) ~~ 13,4 13,4 = 11,2 (3) + cc = 13,4-11,2 (3) = - 20,2 y = 11,2x-20,2 Lub y =

Dla f (x) = sinx jakie jest równanie linii stycznej przy x = (3pi) / 2?

Y = -1 Równanie linii stycznej dowolnej funkcji w x = a jest określone wzorem: y = f '(a) (x-a) + f (a). Potrzebujemy więc pochodnej f. f '(x) = cos (x) i cos ((3pi) / 2) = 0, więc wiemy, że linia styczna przy x = 3pi / 2 jest pozioma i wynosi y = sin ((3pi) / 2) = - 1