Rozróżniaj i upraszczaj proszę o pomoc?

Odpowiedź:

# x ^ (tanx) (lnxsec ^ 2x + 1 / xtanx) #

Wyjaśnienie:

Wyrazić # x ^ tanx # jako moc e:

# x ^ tanx = e ^ ln (x ^ tanx) = e ^ (lnxtanx) #

# = d / dxe ^ (lnxtanx) #

Korzystanie z zasady łańcucha, # d / dxe ^ (lnxtanx) = (de ^ u) / (du) ((du) / dx), # gdzie # u = lnxtanx # i # d / (du) (e ^ u) = e ^ u #

# = (d / dx (lnxtanx)) e ^ (lnxtanx) #

Wyrazić # e ^ (lnxtanx) # jako moc x:

# e ^ (lnxtanx) = e ^ ln (x ^ tanx) = x ^ tanx #

# = x ^ tanx. d / (dx) (lnxtanx) #

Użyj reguły produktu # d / (dx) (uv) = v (du) / (dx) + u (dv) / (dx) #, gdzie # u = lnx # i # v = tanx #

# = lnx d / (dx) (tanx) + d / (dx) (lnxtanx) x ^ tanx #

Pochodna # tanx # jest # sec ^ 2x #

# = x ^ tanx (sec ^ 2xlnx + (d / (dx) (lnx)) tanx) #

Pochodna # lnx # jest # 1 / x #

# = x ^ tanx (lnxsec ^ 2x + 1 / xtanx) #

Odpowiedź:

# dy / dx = (sec ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x) x ^ tan (x) #

Wyjaśnienie:

Użyjemy logarytmicznego zróżnicowania - to znaczy, że weźmiemy naturalny log obu stron i rozróżnimy domyślnie w.r.t # x #

Dany: # y = x ^ tan (x) #

Weź dziennik naturalny (# ln #) obu stron:

#ln (y) = ln (x ^ tan (x)) #

Zastosowanie reguły mocy logu naturalnego #ln (a) ^ b = b * ln (a) #

#ln (y) = tan (x) * ln (x) #

Bezwzględnie rozróżniaj obie strony w.r.t # x #

# 1 / y * dy / dx = kolor (niebieski) (sec ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x) # (Zobacz pracę poniżej)

Aby odróżnić RHS, musimy użyć reguły produktu!

Mamy # d / dx tan (x) * ln (x) #

Pozwolić #f (x) = tan (x) # i #g (x) = ln (x) #

A zatem, #f '(x) = sec ^ 2 (x) # i #g '(x) = 1 / x #

Według reguły produktu: # d / dx f (x) * g (x) = f '(x) g (x) + f (x) g (x) #

Zastępując otrzymujemy:

# d / dx tan (x) * ln (x) = sec ^ 2 (x) * ln (x) + tan (x) * 1 / x #

Uproszczenie …

# d / dx tan (x) * ln (x) = sec ^ 2 (x) * ln (x) + tan (x) / x #

Wracając do tego, co mieliśmy wcześniej:

# 1 / y * dy / dx = sec ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x #

Chcemy się wyizolować # dy / dx # więc pomnożymy obie strony # y #

#cancelcolor (czerwony) y * 1 / cancely * dy / dx = (sec ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x) * kolor (czerwony) y #

# dy / dx = (sec ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x) * kolor (czerwony) y #

Chcemy wszystko napisać # x # ale mamy to #color (czerwony) y # w pewien sposób. Możesz to sobie przypomnieć #color (czerwony) y # jest nam dany na samym początku. #color (czerwony) (y = x ^ tan (x)) #

#:. dy / dx = (sec ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x) * x ^ tan (x) #