Rozróżniaj cos (x ^ 2 + 1) używając pierwszej zasady pochodnej?

Odpowiedź:

# -sin (x ^ 2 + 1) * 2x #

Wyjaśnienie:

# d / dx cos (x ^ 2 + 1) #

W tym celu musimy zastosować regułę łańcucha, a także fakt, że pochodna #cos (u) = -sin (u) #. Reguła łańcuchowa po prostu stwierdza, że można najpierw wyprowadzić zewnętrzną funkcję w odniesieniu do tego, co znajduje się wewnątrz funkcji, a następnie pomnożyć to przez pochodną tego, co znajduje się wewnątrz funkcji.

Formalnie, # dy / dx = dy / (du) * (du) / dx #, gdzie #u = x ^ 2 + 1 #.

Najpierw musimy wypracować pochodną bitu wewnątrz cosinusa, a mianowicie # 2x #. Następnie, po znalezieniu pochodnej cosinusu (sinus ujemny), możemy go pomnożyć przez # 2x #.

# = - sin (x ^ 2 + 1) * 2x #

Odpowiedź:

Patrz poniżej.

Wyjaśnienie:

#f (x) = cos (x ^ 2-1) #

Musimy znaleźć

#lim_ (hrarr0) (f (x + h) -f (x)) / h = lim_ (hrarr0) (cos ((x + h) ^ 2-1) -cos (x ^ 2-1)) / h #

Skupmy się na wyrażeniu, którego ograniczenia potrzebujemy.

# (cos ((x ^ 2-1) + (2xh + h ^ 2)) - cos (x ^ 2-1)) / h #

# = (cos (x ^ 2-1) cos (2xh + h ^ 2) - sin (x ^ 2-1) sin (2xh + h ^ 2) -cos (x ^ 2-1)) / h #

# = cos (x ^ 2-1) (cos (2xh + h ^ 2) -1) / h - sin (x ^ 2-1) sin (2xh + h ^ 2) / h #

# = cos (x ^ 2-1) (cos (2xh + h ^ 2) -1) / (h (2x + h)) (2x + h) - sin (x ^ 2-1) sin (2xh + h ^ 2) / (h (2x + h)) (2x + h) #

Użyjemy następujących ograniczeń:

#lim_ (hrarr0) (cos (2xh + h ^ 2) -1) / (h (2x + h)) = lim_ (trarr0) (koszt-1) / t = 0 #

#lim_ (hrarr0) sin (2xh + h ^ 2) / (h (2x + h)) = lim_ (trarr0) sint / t = 1 #

I #lim_ (hrarr0) (2x + h) = 2x #

Aby ocenić limit:

#cos (x ^ 2-1) (0) (2x) - sin (x ^ 2-1) * (1) * (2x) = -2xsin (x ^ 2-1) #