Jak zintegrować sqrt (x ^ 2 + 4x) dx?

Odpowiedź:

#int sqrt (x ^ 2 + 4x) dx = sinh (2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2)) - 2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2) + C #

Wyjaśnienie:

Ponieważ łatwiej jest poradzić sobie tylko z jednym # x # pod pierwiastkiem kwadratowym wypełniamy kwadrat:

# x ^ 2 + 4x = (x + 2) ^ 2 + k #

# x ^ 2 + 4x = x ^ 2 + 4x + 4 + k #

# k = -4 #

# x ^ 2 + 4x = (x + 2) ^ 2-4 #

#int sqrt (x ^ 2 + 4x) dx = int sqrt ((x + 2) ^ 2-4) dx #

Teraz musimy wykonać substytucję trygonometryczną. Użyję hiperbolicznych funkcji wyzwalających (ponieważ całka sieczna zwykle nie jest zbyt ładna). Chcemy użyć następującej tożsamości:

# cosh ^ 2 (theta) -1 = sinh ^ 2 (theta) #

Aby to zrobić, chcemy # (x + 2) ^ 2 = 4cosh ^ 2 (theta) #. Możemy rozwiązać dla # x # aby uzyskać substytucję, której potrzebujemy:

# x + 2 = 2 cosh (theta) #

# x = 2 cosh (theta) -2 #

Aby zintegrować w odniesieniu do # theta #, musimy pomnożyć przez pochodną # x # z szacunkiem do # theta #:

# dx / (d theta) = 2sinh (theta) #

#int srt ((x + 2) ^ 2-4) dx = int srt ((2cosh (theta)) ^ 2-4) * 2sinh (theta) d theta = #

# = 2int srt (4cosh ^ 2 (theta) -4) * sinh (theta) d theta = 2int srt (4 (cosh ^ 2 (theta) -1)) * sinh (theta) d theta = #

# = 2 * sqrt (4) int sqrt (cosh ^ 2 (theta) -1) * sinh (theta) d theta = #

Teraz możemy użyć tożsamości # cosh ^ 2 (theta) -1 = sinh ^ 2 (theta) #:

# = 4int srt (sinh ^ 2 (theta)) * sinh (theta) d theta = 4int sin ^ 2 (theta) d theta #

Teraz używamy tożsamości:

# sinh ^ 2 (theta) = 1/2 (cosh (2theta) -1) #

# 4 / 2int cosh (2theta) -1 d theta = int 2cosh (2theta) d theta-2theta = #

Moglibyśmy zrobić wyraźne zastąpienie u # 2cosh (2theta) #, ale jest całkiem oczywiste, że odpowiedź brzmi #sinh (2theta) #:

# = sinh (2theta) -2theta + C #

Teraz musimy cofnąć zmianę. Możemy rozwiązać dla # theta # uzyskać:

# theta = cosh ^ -1 ((x + 2) / 2) #

To daje:

#sinh (2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2)) - 2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2) + C #