Czym jest pochodna f (x) = csc ^ -1 (x)?

# dy / dx = -1 / sqrt (x ^ 4 - x ^ 2) #

Proces:

1.) #y = "arccsc" (x) #

Najpierw przepisamy równanie w formie, z którą łatwiej jest pracować.

Weźmy współsekretarza obu stron:

2.) #csc y = x #

Przepisz w kategoriach sinus:

3.) # 1 / siny = x #

Rozwiąż dla # y #:

4.) # 1 = xsin y #

5.) # 1 / x = sin y #

6.) #y = arcsin (1 / x) #

Teraz przyjmowanie pochodnej powinno być łatwiejsze. To tylko kwestia zasady łańcucha.

Wiemy to # d / dx arcsin alpha = 1 / sqrt (1 - alpha ^ 2) # (znajduje się tutaj dowód tożsamości)

Weź więc pochodną funkcji zewnętrznej, a następnie pomnóż ją przez pochodną # 1 / x #:

7.) # dy / dx = 1 / sqrt (1 - (1 / x) ^ 2) * d / dx 1 / x #

Pochodna # 1 / x # jest taki sam jak pochodna #x ^ (- 1) #:

8.) # dy / dx = 1 / sqrt (1 - (1 / x) ^ 2) * (-x ^ (- 2)) #

Uproszczenie 8. daje nam:

9.) # dy / dx = -1 / (x ^ 2 * sqrt (1 - 1 / x ^ 2)) #

Aby uczynić to stwierdzenie trochę ładniejszym, możemy wprowadzić kwadrat # x ^ 2 # wewnątrz radykała, chociaż nie jest to konieczne:

10.) # dy / dx = -1 / (sqrt (x ^ 4 (1 - 1 / x ^ 2))) #

Uproszczenie wydajności:

11.) # dy / dx = -1 / sqrt (x ^ 4 - x ^ 2) #

I jest nasza odpowiedź. Pamiętaj, że problemy pochodne związane z odwrotnymi funkcjami trig są głównie ćwiczeniem twojej wiedzy o tożsamościach. Użyj ich, aby podzielić funkcję na formę, która jest łatwa do odróżnienia.