Jaka jest reszta p 12 ^ (p-1), gdy p jest liczbą pierwszą?

Odpowiedź:

Reszta jest równa #0# gdy # p # jest albo #2# lub #3#i jest równy #1# dla wszystkich innych liczb pierwszych.

Wyjaśnienie:

Przede wszystkim problem ten można ponownie określić jako konieczność znalezienia wartości # 12 ^ (p-1) mod p # gdzie # p # jest liczbą pierwszą.

Aby rozwiązać ten problem, musisz znać twierdzenie Eulera. Twierdzenie Eulera stwierdza, że #a ^ {varphi (n)} - = 1 mod n # dla dowolnych liczb całkowitych #za# i # n # to są koprime (nie dzielą żadnych czynników). Być może zastanawiasz się co # varphi (n) # jest. W rzeczywistości jest to funkcja znana jako funkcja totient. Jest zdefiniowany jako równy liczbie liczb całkowitych # <= n # takie, że te liczby całkowite są koprami # n #. Pamiętaj, że liczba #1# jest uważany za kopr do wszystkich liczb całkowitych.

Teraz, gdy znamy twierdzenie Eulera, możemy rozwiązać ten problem.

Zauważ, że wszystkie liczby pierwsze inne niż #2# i #3# są ze sobą #12#. Odłóżmy 2 i 3 na później i skupmy się na pozostałych liczbach pierwszych. Ponieważ te inne liczby pierwsze są równe 12, możemy zastosować do nich twierdzenie Eulera:

# 12 ^ {varphi (p)} - = 1 mod p #

Od # p # jest liczbą pierwszą, # varphi (p) = p-1 #. Ma to sens, ponieważ każda liczba mniejsza od liczby pierwszej będzie z nią współrzędna.

Dlatego teraz mamy # 12 ^ {p-1} - = 1 mod p #

Powyższe wyrażenie można przetłumaczyć na # 12 ^ {p-1} # podzielony przez # p # ma resztę #1#.

Teraz po prostu musimy się rozliczyć #2# i #3#, które jak powiedziałeś wcześniej, oba miały resztki #0#.

Dlatego też udowodniliśmy to w całości # 12 ^ {p-1} # podzielony przez # p # gdzie # p # to liczba pierwsza ma resztę #0# kiedy p jest albo #2# lub #3# i ma resztę #1# Inaczej.

Jedna liczba to 4 mniej niż 3 razy druga liczba. Jeśli 3 więcej niż dwa razy pierwsza liczba zmniejszy się o 2 razy druga liczba, wynikiem będzie 11. Użyj metody podstawiania. Jaki jest pierwszy numer?

N_1 = 8 n_2 = 4 Jedna liczba to 4 mniej niż -> n_1 =? - 4 3 razy "........................." -> n_1 = 3? -4 drugi numer koloru (brązowy) (".........." -> n_1 = 3n_2-4) kolor (biały) (2/2) Jeśli 3 więcej "... ........................................ "->? +3 niż dwa razy pierwsza liczba „............” -> 2n_1 + 3 jest zmniejszona o „......................... .......... "-> 2n_1 + 3-? 2 razy druga liczba „.................” -> 2n_1 + 3-2n_2 wynikiem jest 11 kolorów (brązowy) („.......... ........................... "-> 2n_1 + 3-2n_2 = 11)" ~~~~~~~~~~~ ~

Gdy liczba jest podzielona przez 3, wynik jest taki sam, jak gdy liczba jest zmniejszona o 10. Jaka jest liczba?

15 Napisz dwa wyrażenia i ustaw je na równe. Nasze pierwsze wyrażenie można określić, rozumiejąc wiersz „liczba jest podzielona przez 3”. Możemy reprezentować liczbę jako n, a dzielenie przez 3 jest tym samym, co div 3. Tak więc to konkretne wyrażenie będzie n div 3. Drugie wyrażenie można określić przez zrozumienie linii „liczba jest zmniejszona o 10”. Ponownie, liczba może być reprezentowana jako n, a ponieważ jest zmniejszana o 10, wiemy, że odejmuje o 10. Zatem to konkretne wyrażenie może być n - 10. Ponieważ mówi, że n div 3 jest takie samo jak n - 10, możemy wiedzieć, że są sobie równi.n div 3 = n - 10

Gdy wielomian jest dzielony przez (x + 2), reszta to -19. Kiedy ten sam wielomian jest dzielony przez (x-1), reszta wynosi 2, jak określić resztę, gdy wielomian jest dzielony przez (x + 2) (x-1)?

Wiemy, że f (1) = 2 i f (-2) = - 19 z twierdzenia o pozostałościach Teraz znajdź resztę wielomianu f (x) po podzieleniu przez (x-1) (x + 2) Pozostała część będzie postać Ax + B, ponieważ jest pozostałością po podziale przez kwadrat. Możemy teraz pomnożyć dzielnik razy iloraz Q ... f (x) = Q (x-1) (x + 2) + Ax + B Następnie wstawić 1 i -2 dla x ... f (1) = Q (1-1) (1 + 2) + A (1) + B = A + B = 2 f (-2) = Q (-2-1) (- 2 + 2) + A (-2) + B = -2A + B = -19 Rozwiązywanie tych dwóch równań, otrzymujemy A = 7 i B = -5 Pozostała = Ax + B = 7x-5