Jakie jest końcowe zachowanie funkcji f (x) = ln x?

#f (x) = ln (x) -> infty # tak jak #x -> infty # (#ln (x) # rośnie bez ograniczeń # x # rośnie bez ograniczeń) i #f (x) = ln (x) -> - infty # tak jak #x -> 0 ^ {+} # (#ln (x) # rośnie bez ograniczeń w kierunku negatywnym # x # zbliża się do zera od prawej).

Aby udowodnić pierwszy fakt, zasadniczo musisz wykazać, że funkcja zwiększająca #f (x) = ln (x) # nie ma asymptoty poziomej jak #x -> infty #.

Pozwolić #M> 0 # być dowolną liczbą dodatnią (bez względu na wielkość). Jeśli #x> e ^ {M} #, następnie #f (x) = ln (x)> ln (e ^ {M}) = M # (od #f (x) = ln (x) # jest funkcją rosnącą). Dowodzi to, że każda linia pozioma # y = M # nie może być asymptotą poziomą #f (x) = ln (x) # tak jak #x -> infty #. Fakt, że #f (x) = ln (x) # jest funkcją rosnącą, co implikuje to #f (x) = ln (x) -> infty # tak jak # x-> infty #.

Aby udowodnić drugi fakt, niech #M> 0 # bądź dowolną liczbą dodatnią, aby # -M <0 # jest dowolną podaną liczbą ujemną (bez względu na to, jak daleko od zera). Jeśli # 0 <x <e ^ {- M} #, następnie #f (x) = ln (x) <nn (e ^ {- M}) = - M # (od #f (x) = ln (x) # wzrasta). To dowodzi tego #f (x) = ln (x) # dostaje się poniżej dowolnej linii poziomej, jeśli # 0 <x # jest wystarczająco bliski zeru. To znaczy #f (x) = ln (x) -> - infty # tak jak #x -> 0 ^ {+} #.