Jak rozwiązać 1 = łóżeczko ^ 2 x + csc x?

Odpowiedź:

#x = (- 1) ^ k (-pi / 6) + kpi #

dla #k w ZZ #

Wyjaśnienie:

# cot ^ 2x + cscx = 1 #

Użyj tożsamości: # cos ^ 2x + sin ^ 2x = 1 #

# => łóżeczko ^ 2x + 1 = csc ^ 2x #

# => łóżeczko ^ 2x = csc ^ 2x-1 #

Zastąp to w oryginalnym równaniu, # csc ^ 2x-1 + cscx = 1 #

# => csc ^ 2x + cscx-2 = 0 #

To równanie kwadratowe w zmiennej # cscx # Więc możesz zastosować formułę kwadratową, #csx = (- 1 + -sqrt (1 + 8)) / 2 #

# => cscx = (- 1 + -3) / 2 #

Walizka #(1):#

#cscx = (- 1 + 3) / 2 = 1 #

Pamiętaj, że: # cscx = 1 / sinx #

# => 1 / sin (x) = 1 => sin (x) = 1 => x = pi / 2 #

Ogólne rozwiązanie (1): #x = (- 1) ^ n (pi / 2) + npi #

Musimy odrzucić (zaniedbać) te wartości, ponieważ #łóżko składane# funkcja nie jest zdefiniowana dla wielokrotności # pi / 2 # !

Walizka #(2):#

#cscx = (- 1-3) / 2 = -2 #

# => 1 / sin (x) = - 2 => sin (x) = - 1/2 => x = -pi / 6 #

Ogólne rozwiązanie (2): #x = (- 1) ^ k (-pi / 6) + kpi #

Odpowiedź:

Rozwiąż łóżeczko ^ 2 x + csc x = 1

Odp: # (pi) / 2; (7pi) / 6 i (11pi) / 6 #

Wyjaśnienie:

# cos ^ 2 x / sin ^ 2 x + 1 / sin x = 1 #

# cos ^ 2 x + sin x = sin ^ 2 x #

# (1 - sin ^ 2 x) + sin x = sin ^ 2 x #

# 2sin ^ 2 x - sin x - 1 = 0 -> 2t ^ 2 - t - 1 = 0 # - Wywołaj sin x = t

Ponieważ a + b + c = 0, użyj skrótu: 2 prawdziwe korzenie to:

t = 1 i #t = -1 / 2 #

za. t = sin x = 1 -> #x = pi / 2 #

b. #sin x = - 1/2 # --> #x = (7pi) / 6 # i #x = (11pi) / 6 #