Jak zintegrować int 3 * (csc (t)) ^ 2 / łóżeczko (t) dt?

Odpowiedź:

Użyć # u #- podstawa do zdobycia # -3lnabs (łóżeczko (t)) + C #.

Wyjaśnienie:

Po pierwsze, zauważ to, ponieważ #3# jest stałą, możemy ją wyciągnąć z całki, aby uprościć:

# 3int (csc ^ 2 (t)) / łóżeczko (t) dt #

Teraz - i to jest najważniejsza część - zauważ, że pochodna #cot (t) # jest # -csc ^ 2 (t) #. Ponieważ mamy funkcję i jej pochodną w tej samej całce, możemy zastosować a # u # podstawienie w ten sposób:

# u = łóżeczko (t) #

# (du) / dt = -csc ^ 2 (t) #

# du = -csc ^ 2 (t) dt #

Możemy przekonwertować pozytywne # csc ^ 2 (t) # do negatywu w ten sposób:

# -3int (-csc ^ 2 (t)) / łóżeczko (t) dt #

I zastosuj substytucję:

# -3int (du) / u #

Wiemy to #int (du) / u = lnabs (u) + C #, więc ocena całki jest wykonywana. Musimy tylko odwrócić substytut (wstaw odpowiedź z powrotem w kategoriach # t #) i dołącz to #-3# do wyniku. Od # u = łóżeczko (t) #, możemy powiedzieć:

# -3 (lnabs (u) + C) = - 3 lbs (łóżeczko (t)) + C #

I to wszystko.

Odpowiedź:

# 3ln | csc 2t -cot 2t | + const. = 3ln | tan t | + const.

Wyjaśnienie:

# 3 int csc ^ 2 t / cot t dt = #

# = 3 int (1 / sin ^ 2 t) * (1 / (cos t / sin t)) dt #

# = 3 int dt / (sin t * cos t) #

Zapamietaj to

#sin 2t = 2sint * koszt #

Więc

# = 3int dt / ((1/2) sin 2t) #

# = 6int csc 2t * dt #

Jak możemy znaleźć w tabeli całek

(na przykład Tabela całek zawierających Csc (ax) w SOS Math):

#int csc ax * dx = 1 / aln | cscax-cotax | = ln | tan ((ax) / 2) | #

otrzymujemy ten wynik

# = 3ln | csc2t-cot2t | + const = 3ln | tan t | + const.