Jak przekonwertować r = 7 / (5-5costheta) na prostokątną?

Odpowiedź:

To parabola z boku # 70 x = 25 y ^ 2 - 49. #

Wyjaśnienie:

Ten jest interesujący, ponieważ po prostu się rozbiega; minimum mianownika wynosi zero. To sekcja stożkowa; tylko rozbieżne myślę, że czyni to parabolą. To nie ma większego znaczenia, ale mówi nam, że możemy uzyskać ładną formę algebraiczną bez funkcji wyzwalających lub pierwiastków kwadratowych.

Najlepszym podejściem jest coś wstecz; używamy podstawień biegunowych do prostokątnych, gdy wydaje się, że inny sposób byłby bardziej bezpośredni.

#x = r cos theta #

#y = r sin theta #

Więc # x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 (cos ^ 2 theta + sin ^ 2 theta) = r ^ 2 #

# r = 7 / {5 - 5 cos theta} #

Widzimy #r> 0. # Zaczynamy od oczyszczenia frakcji.

# 5 r - 5 r cos theta = 7 #

Mamy #r cos theta # więc to jest # x. #

# 5 r - 5 x = 7 #

# 5r = 5 x + 7 #

Nasza wstępna obserwacja była #r> 0 # tak kwadrat jest OK.

# 25 r ^ 2 = (5x + 7) ^ 2 #

Teraz zastępujemy ponownie.

# 25 (x ^ 2 + y ^ 2) = (5x + 7) ^ 2 #

Technicznie odpowiedzieliśmy na pytanie w tym momencie i możemy się tu zatrzymać. Ale wciąż jest do zrobienia algebra i miejmy nadzieję, że nagroda na końcu: może uda nam się pokazać, że to w rzeczywistości parabola.

# 25 x ^ 2 + 25 y ^ 2 = 25x ^ 2 + 70 x + 49 #

# 25 y ^ 2 - 49 = 70 x #

# x = 1/70 (25 y ^ 2 - 49) = 1/70 (5y-7) (5y + 7) #

wykres {x = 1/70 (25y ^ 2 - 49) -17,35, 50, -30, 30}

Tak, to parabola, obrócona # 90 ^ circ #od zwykłej orientacji.

Sprawdź: Alfa eyball