Jakie są ekstrema i punkty siodłowe f (x, y) = x ^ 2y-y ^ 2x?

Odpowiedź:

Punkt siodłowy na początku.

Wyjaśnienie:

Mamy:

# f (x, y) = x ^ 2y -y ^ 2x #

I tak otrzymujemy pochodne cząstkowe. Pamiętaj, że podczas częściowego różnicowania odróżniamy zmienną o której mowa, a pozostałe zmienne traktujemy jako stałe. A więc:

# (częściowy f) / (częściowy x) = 2xy-y ^ 2 i # (częściowy f) / (częściowy y) = x ^ 2-2yx #

W ekstremalnych lub siodłowych punktach mamy:

# (częściowy f) / (częściowy x) = 0 i # (częściowy f) / (częściowy y) = 0 równocześnie:

tj. jednoczesne rozwiązanie:

# 2xy-y ^ 2 = 0 => y (2x-y) = 0 => y = 0, x = 1 / 2y #

# x ^ 2-2yx = 0 => x (x-2y) = 0 => x = 0, x = 1 / 2y #

Stąd jest tylko jeden punkt krytyczny na początku #(0,0)#. Aby ustalić charakter punktu krytycznego, potrzebni są analitycy wieloczynnikowej serii Taylora i następujące wyniki testu:

# Delta = (częściowy ^ 2 f) / (częściowy x ^ 2) (częściowy ^ 2 f) / (częściowy y ^ 2) - {(częściowy ^ 2 f) / (częściowy x częściowy y)} ^ 2 <0 => # punkt siodłowy

Obliczamy więc drugie pochodne cząstkowe:

# (częściowy ^ 2f) / (częściowy x ^ 2) = 2y;# (częściowy ^ 2f) / (częściowy y ^ 2) = -2x i # (częściowy ^ 2 f) / (częściowy x częściowy y) = 2x-2y #

I tak kiedy # x = 0, y = 0 # dostajemy:

# Delta = (0) (0) - {0-0} ^ 2 = 0 #

Oznacza to, że standardowy test siodełka obejmuje wszystkie elementy i wymagana jest dalsza analiza. (Zazwyczaj wymaga to spojrzenia na znaki funkcji na różnych plasterkach lub na trzeci test częściowej pochodnej, który wykracza poza zakres tego pytania!).

Możemy również spojrzeć na wykres 3D i wyciągnąć szybki wniosek, że punkt krytyczny wydaje się odpowiadać punktowi siodłowemu: