Jakie są ekstrema lokalne f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x?

Odpowiedź:

#f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x # ma lokalne minimum # x = 1 # i maksimum lokalne dla # x = 3 #

Wyjaśnienie:

Mamy:

#f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x #

funkcja jest zdefiniowana we wszystkich # RR # tak jak # x ^ 2 + 3> 0 AA x #

Możemy zidentyfikować punkty krytyczne, znajdując, gdzie pierwsza pochodna równa się zero:

#f '(x) = (4x) / (x ^ 2 + 3) -1 = - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) #

# - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) = 0 #

# x ^ 2-4x + 3 = 0 #

# x = 2 + -sqrt (4-3) = 2 + -1 #

więc punktami krytycznymi są:

# x_1 = 1 # i # x_2 = 3 #

Ponieważ mianownik jest zawsze pozytywny, znak #f '(x) # jest przeciwieństwem znaku licznika # (x ^ 2-4x + 3) #

Teraz wiemy, że wielomian drugiego rzędu z dodatnim współczynnikiem wyprzedzającym jest dodatni poza przedziałem zawartym między korzeniami i ujemnym w przedziale między korzeniami, tak że:

#f '(x) <0 # dla #x in (-oo, 1) # i #x in (3, + oo) #

#f '(x)> 0 # dla #x w (1,3) #

Mamy to wtedy #f (x) # maleje w # (- oo, 1) #, wzrastając w #(1,3)#i znowu maleje # (3, + oo) #, więc to # x_1 = 1 # musi być minimum lokalnym i # x_2 = 3 # musi być maksimum lokalnym.

wykres {2ln (x ^ 2 + 3) -x -1,42, 8,58, -0,08, 4,92}