Udowodnij to ? - Trygonometria 2024

Odpowiedź:

Dowód poniżej …

Wyjaśnienie:

Możemy wykorzystać naszą wiedzę o dodatkowych formułach …

#cos (A + B) = cosAcosB - sinAsinB #

# cos ^ 2 (x + pi / 3) = (cosxcos (pi / 3) - sinx sin (pi / 3)) ^ 2 #

# = (1 / 2cosx - sqrt (3) / 2 sinx) ^ 2 = 1 / 4cos ^ 2x -sqrt (3) / 2 sinxcosx +3/4 sin ^ 2 x #

# cos ^ 2 (x-pi / 3) = (cosxcos (pi / 3) + sinxsin (pi / 3)) ^ 2 #

# = (1 / 2cosx + sqrt (3) / 2 sinx) ^ 2 = 1 / 4cos ^ 2x + sqrt (3) / 2 sinxcosx + 3 / 4cos ^ 2 x #

# => cos ^ 2x + cos ^ 2 (x-pi / 3) + cos ^ 2 (x + pi / 3) #

# = cos ^ 2x + 1 / 2cos ^ 2x + 3/2 sin ^ 2 x = 3 / 2cos ^ 2x + 3 / 2sin ^ 2x #

# - = 3/2 (cos ^ 2 x + sin ^ 2 x) = kolor (niebieski) (3/2 #

Korzystanie z tożsamości # sin ^ 2 theta + cos ^ 2 theta - = 1 #

Odpowiedź:

Inne podejście.

Wyjaśnienie:

Użyjemy 1) # 2cos ^ 2x = 1 + cos2x #

2) # cosA + cosB = 2cos ((A + B) / 2) * cos ((A-B) / 2) #

# LHS = cos ^ 2x + cos ^ 2 (x + 60 °) + cos ^ 2 (x-60 °) #

# = 1/2 2 cos ^ 2x + 2 cos ^ 2 (x + 60 °) + 2 cos ^ 2 (x-60 °) #

# = 1/2 1 + cos2x + 1 + cos2 * (x + 60 °) + 1 + cos2 * (x-60 °) #

# = 1/2 3 + cos2x + cos (2x + 120 °) + cos (2x-120 °) #

# = 3/2 + 1/2 * cos2x + 2 * cos ((2x + 120 ° + 2x-120) / 2) * cos ((2x + 120 ° - (2x-120 °)) / 2) #

# = 3/2 + 1/2 * cos2x + 2 cos (2x) * cos120 ° #

# = 3/2 + 1/2 cos2x + 2cos2x * (- 1/2) #

# = 3/2 + 1/2 * 0 = 3/2 = RHS #

Wiadomo, że równanie bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 ma jeden prawdziwy korzeń. Udowodnij, że równanie x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 nie ma prawdziwych korzeni.

Zobacz poniżej. Korzenie bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 to x = (a - 3 b pmsqrt [a ^ 2 - 6 ab + 5 b ^ 2]) / (2 b) Korzenie będą zbieżne i prawdziwe, jeśli a ^ 2 - 6 ab + 5 b ^ 2 = (a - 5 b) (a - b) = 0 lub a = b lub a = 5b Teraz rozwiązywanie x ^ 2 + (ab) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 mamy x = 1/2 (-a + b pm sqrt [a ^ 2 - 6 ab + 5 b ^ 2-4]) Warunkiem dla złożonych korzeni jest ^ 2 - 6 ab + 5 b ^ 2-4 lt 0 teraz tworząc a = b lub a = 5b mamy ^ 2 - 6 ab + 5 b ^ 2-4 = -4 <0 Podsumowując, jeśli bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 ma zbieżne korzenie rzeczywiste, a następnie x ^ 2 + (ab) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 będą miały złożone korzenie.

Udowodnij sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) e ^ (iarctan (b / a)) = a + bi?

Wyjaśnienie Na normalnej płaszczyźnie współrzędnych mamy współrzędne takie jak (1,2) i (3,4) i takie tam. Możemy ponownie wyrazić te współrzędne n pod względem promieni i kątów.Więc jeśli mamy punkt (a, b) oznacza to, że idziemy jednostkami w prawo, b jednostki w górę i sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) jako odległość między początkiem a punktem (a, b). Wywołam sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) = r Więc mamy ponownie ^ arctan (b / a) Teraz, aby zakończyć ten dowód, przypomnijmy sobie formułę. e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) Funkcja opalenizny daje mi kąt, który jest również theta. Mamy więc następuj

Udowodnij, że: cos120 cos240 - sin240 sin120 = 1?

Patrz poniżej. Wiemy, że cos (A + B) = cosAcosB-sinAsinB So, cos240 ° * cos120 ° -sin240 ° * sin120 ° = cos (240 ° + 120 °) = cos360 ° = 1