Jaka jest domena i zakres funkcji: x ^ 2 / (1 + x ^ 4)?

Odpowiedź:

Domena to # (- oo, oo) # i zasięg #0, 1/2#

Wyjaśnienie:

Dany:

#f (x) = x ^ 2 / (1 + x ^ 4) #

Zauważ, że dla każdej rzeczywistej wartości # x #, mianownik # 1 + x ^ 4 # jest niezerowe.

Stąd #f (x) # jest dobrze zdefiniowany dla każdej rzeczywistej wartości # x # a jego domeną jest # (- oo, oo) #.

Aby określić zakres, pozwól:

#y = f (x) = x ^ 2 / (1 + x ^ 4) #

Pomnóż oba końce przez # 1 + x ^ 4 # uzyskać:

#y x ^ 4 + y = x ^ 2 #

Odejmowanie # x ^ 2 # z obu stron możemy przepisać to jako:

#y (x ^ 2) ^ 2- (x ^ 2) + y = 0 #

Będzie to miało tylko rzeczywiste rozwiązania, jeśli jego dyskryminator jest nieujemny. Putting # a = y #, # b = -1 # i # c = y #, dyskryminujący #Delta# jest dany przez:

#Delta = b ^ 2-4ac = (-1) ^ 2-4 (y) (y) = 1-4y ^ 2 #

Wymagamy więc:

# 1-4y ^ 2> = 0 #

Stąd:

# y ^ 2 <= 1/4 #

Więc # -1 / 2 <= y <= 1/2 #

Dodatkowo zauważ to #f (x)> = 0 # dla wszystkich rzeczywistych wartości # x #.

Stąd # 0 <= y <= 1/2 #

Więc zasięg #f (x) # jest #0, 1/2#