Wielomian stopnia 5, P (x) ma współczynnik wiodący 1, ma pierwiastki wielokrotności 2 przy x = 1 i x = 0, a pierwiastek wielokrotności 1 przy x = -1 Znajdź możliwą formułę dla P (x)?

Odpowiedź:

# P (x) = x ^ 2 (x-1) ^ 2 (x + 1) #

Wyjaśnienie:

Biorąc pod uwagę, że mamy korzeń wielorakości #2# #at x = 1 #, wiemy to #P (x) # ma czynnik # (x-1) ^ 2 #

Biorąc pod uwagę, że mamy korzeń wielorakości #2# w # x = 0 #, wiemy to #P (x) # ma czynnik # x ^ 2 #

Biorąc pod uwagę, że mamy korzeń wielorakości #1# w # x = -1 #, wiemy to #P (x) # ma czynnik # x + 1 #

Dajemy to #P (x) # jest wielomianem stopnia #5#i dlatego zidentyfikowaliśmy wszystkie pięć korzeni i czynników, abyśmy mogli pisać

# P (x) = 0 => x ^ 2 (x-1) ^ 2 (x + 1) = 0 #

I dlatego możemy pisać

# P (x) = Ax ^ 2 (x-1) ^ 2 (x + 1) #

Wiemy również, że współczynnik wiodący wynosi # 1 => A = 1 #

Stąd,

# P (x) = x ^ 2 (x-1) ^ 2 (x + 1) #

Wielomian stopnia 4, P (x) ma pierwiastek wielokrotności 2 przy x = 3 i pierwiastki wielokrotności 1 przy x = 0 i x = -3. Przechodzi przez punkt (5,112). Jak znaleźć wzór na P (x)?

Wielomian stopnia 4 będzie miał postać podstawową: y = k (x-r_1) (x-r_2) (x-r_3) (x-r_4) Zastąp w wartościach dla korzeni, a następnie użyj punktu, aby znaleźć wartość k. Zastąp w wartościach korzeni: y = k (x-0) (x-3) (x-3) (x - (- 3)) Użyj punktu (5,112), aby znaleźć wartość k: 112 = k (5-0) (5-3) (5-3) (5 - (- 3)) 112 = k (5) (2) (2) (8) k = 112 / ((5) (2) ( 2) (8)) k = 7/10 Rdzeń z wielomianu wynosi: y = 7/10 (x-0) (x-3) (x-3) (x - (- 3))

Wielomian stopnia 5, P (x) ma współczynnik wiodący 1, ma pierwiastki wielokrotności 2 przy x = 1 i x = 0, a pierwiastek wielokrotności 1 przy x = -3, jak znaleźć możliwą formułę dla P (x)?

P (x) = x ^ 5 + x ^ 4-5x ^ 3 + 3x ^ 2 Każdy pierwiastek odpowiada współczynnikowi liniowemu, więc możemy napisać: P (x) = x ^ 2 (x-1) ^ 2 (x +3) = x ^ 2 (x ^ 2-2x + 1) (x + 3) = x ^ 5 + x ^ 4-5x ^ 3 + 3x ^ 2 Dowolny wielomian z tymi zerami i co najmniej tymi krotnościami będzie wielokrotny (skalarny lub wielomianowy) tego przypisu P (x) Ściśle mówiąc, wartość x, która daje P (x) = 0, nazywana jest korzeniem P (x) = 0 lub zerem P (x). Zatem pytanie powinno naprawdę mówić o zerach P (x) lub o korzeniach P (x) = 0.

Wielomian stopnia 5, P (x) ma współczynnik wiodący 1, ma pierwiastki wielokrotności 2 przy x = 3 i x = 0, a pierwiastek wielokrotności 1 przy x = -1?

P (x) = x ^ 5-5x ^ 4 + 3x ^ 3 + 9x ^ 2> „podany” x = a ”jest pierwiastkiem wielomianu, a następnie„ (xa) ”jest współczynnikiem wielomianu„ ”jeśli” x = a "krotności 2 wtedy" (xa) ^ 2 "jest współczynnikiem wielomianu" "tutaj" x = 0 "krotność 2" rArrx ^ 2 "jest czynnikiem" "także" x = 3 "krotność 2" rArr (x-3) ^ 2 „jest czynnikiem” i „x = -1” krotność 1 „rArr (x + 1)„ jest czynnikiem ”„ wielomian jest iloczynem jego czynników ”P (x) = x ^ 2 (x-3) ^ 2 (x + 1) kolor (biały) (P (x)) = x ^ 2 (x ^ 2-6x + 9) (x + 1) kolor (biały) (P ( x)) = (x ^