Wielomian stopnia 5, P (x) ma współczynnik wiodący 1, ma pierwiastki wielokrotności 2 przy x = 1 i x = 0, a pierwiastek wielokrotności 1 przy x = -3, jak znaleźć możliwą formułę dla P (x)?

Wielomian stopnia 5, P (x) ma współczynnik wiodący 1, ma pierwiastki wielokrotności 2 przy x = 1 i x = 0, a pierwiastek wielokrotności 1 przy x = -3, jak znaleźć możliwą formułę dla P (x)?
Anonim

Odpowiedź:

#P (x) = x ^ 5 + x ^ 4-5x ^ 3 + 3x ^ 2 #

Wyjaśnienie:

Każdy korzeń odpowiada współczynnikowi liniowemu, więc możemy napisać:

#P (x) = x ^ 2 (x-1) ^ 2 (x + 3) #

# = x ^ 2 (x ^ 2-2x + 1) (x + 3) #

# = x ^ 5 + x ^ 4-5x ^ 3 + 3x ^ 2 #

Dowolny wielomian o tych zerach i przynajmniej tych krotnościach będzie wielokrotnością (skalarną lub wielomianową) tego #P (x) #

Notatka

Ściśle mówiąc, wartość # x # to powoduje #P (x) = 0 # nazywa się a korzeń z #P (x) = 0 # lub a zero z #P (x) #. Więc pytanie powinno naprawdę mówić o zera z #P (x) # lub o korzenie z #P (x) = 0 #.