Niech f (x) = (x + 2) / (x + 3). Znajdź równanie (-a) linii stycznej, które przechodzą przez punkt (0,6)? Naszkicuj rozwiązanie?

Niech f (x) = (x + 2) / (x + 3). Znajdź równanie (-a) linii stycznej, które przechodzą przez punkt (0,6)? Naszkicuj rozwiązanie?
Anonim

Odpowiedź:

Styczne są # 25x-9y + 54 = 0 # i # y = x + 6 #

Wyjaśnienie:

Niech nachylenie stycznej będzie # m #. Równanie to jest wtedy # y-6 = mx # lub # y = mx + 6 #

Teraz zobaczmy punkt przecięcia tej krzywej stycznej i danej # y = (x + 2) / (x + 3) #. Za to wprowadzenie # y = mx + 6 # w tym dostajemy

# mx + 6 = (x + 2) / (x + 3) # lub # (mx + 6) (x + 3) = x + 2 #

to znaczy # mx ^ 2 + 3mx + 6x + 18 = x + 2 #

lub # mx ^ 2 + (3m + 5) x + 16 = 0 #

Powinno to dać dwie wartości # x # tj. dwa punkty przecięcia, ale styczna przecina krzywą tylko w jednym punkcie. Stąd jeśli # y = mx + 6 # jest styczna, powinniśmy mieć tylko jeden pierwiastek dla równania kwadratowego, co jest możliwe, jeśli wyróżnikiem jest #0# to znaczy

# (3m + 5) ^ 2-4 * m * 16 = 0 #

lub # 9m ^ 2 + 30m + 25-64m = 0 #

lub # 9m ^ 2-34m + 25 = 0 #

to znaczy # m = (34 + -sqrt (34 ^ 2-900)) / 18 #

= # (34 + -sqrt256) / 18 = (34 + -16) / 18 #

to znaczy #25/9# lub #1#

a zatem styczne są # y = 25 / 9x + 6 # to znaczy # 25x-9y + 54 = 0 #

i # y = x + 6 #

wykres {(25x-9y + 54) (x-y + 6) (y- (x + 2) / (x + 3)) = 0 -12,58, 7,42, -3,16, 6,84}