Jak rozwiązać inte ^ xcosxdx?

Odpowiedź:

#int e ^ x cos (x) „d” x = 1 / 2e ^ x (sin (x) + cos (x)) + C #

Wyjaśnienie:

# I = int e ^ x cos (x) „d” x #

Będziemy używać integracji według części, co stanowi #int u "d" v = uv-int v d "u #.

Użyj integracji według części, za pomocą # u = e ^ x #, # du = e ^ x „d” x #, # "d" v = cos (x) "d" x #, i # v = sin (x) #:

# I = e ^ xsin (x) -int ^ xsin (x) „d” x #

Użyj integracji przez części ponownie do drugiej całki, z # u = e ^ x #, # "d" u = e ^ x "d" x #, # "d" v = sin (x) "d" x #, i # v = -cos (x) #:

# I = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) -int ^ xcos (x) „d” x #

Teraz przypomnijmy sobie, co zdefiniowaliśmy # I = int e ^ x cos (x) „d” x #. Zatem powyższe równanie staje się następujące (pamiętając o dodaniu stałej integracji):

# I = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) -I + C #

# 2I = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) + C = e ^ x (sin (x) + cos (x)) + C #

# I = 1 / 2e ^ x (sin (x) + cos (x)) + C #

Odpowiedź:

Zobacz poniżej.

Wyjaśnienie:

Korzystanie z tożsamości de Moivre'a

# e ^ (ix) = cos x + i grzech x # mamy

#int e ^ x cos x dx = "Re" int e ^ x (cos x + i sin x) dx = "Re" int e ^ (x + ix) dx #

ale #int e ^ ((1 + i) x) dx = 1 / (1 + i) e ^ ((1 + i) x) = (1-i) / 2 e ^ x e ^ (ix) = #

# = (1-i) / 2e ^ x (cos x + isinx) = 1 / 2e ^ x (cosx + sinx) + i1 / 2e ^ x (sinx -cosx) #

i w końcu

#int e ^ x cos x dx = 1 / 2e ^ x (cosx + sinx) + C #