Co to jest największy cylinder o promieniu, r i wysokości h, który może zmieścić się w sferze promienia, R?

Odpowiedź:

Maksymalna objętość cylindra zostanie znaleziona, jeśli wybierzemy

# r = sqrt (2/3) R #, i #h = (2R) / sqrt (3) #

Ten wybór prowadzi do maksymalnej objętości cylindra:

# V = (4pi R ^ 3) / (3sqrt (3)) #

Wyjaśnienie:

``

Wyobraź sobie przekrój przez środek cylindra i pozwól, aby cylinder miał wysokość # h #i głośność # V #, Następnie mamy;

# h # i # r # może być zróżnicowany i # R # jest stała. Objętość cylindra jest podana w standardowej formule:

# V = pir ^ 2h #

Promień kuli, # R # jest przeciwprostokątną trójkąta z bokami # r # i # 1 / 2h #, więc używając Pythagorasa, mamy:

# R ^ 2 = r ^ 2 + (1 / 2h) ^ 2 #

#:. R ^ 2 = r ^ 2 + 1 / 4h ^ 2 #

#:. r ^ 2 = R ^ 2-1 / 4h ^ 2 #

Możemy zastąpić to w naszym równaniu objętości, aby uzyskać:

# V = pir ^ 2h #

#:. V = pi (R ^ 2-1 / 4h ^ 2) h #

#:. V = pi R ^ 2h-1 / 4pih ^ 3 #

Mamy teraz wolumen, # V # jako funkcja pojedynczej zmiennej # h #, które staramy się zmaksymalizować # h # tak różnicujący wrt # h # daje:

# (dV) / (dh) = pi R ^ 2-3 / 4pih ^ 2 #

Minimum lub maksimum # (dV) / (dh) = 0 # więc:

# pi R ^ 2-3 / 4pih ^ 2 = 0 #

#:. 3/4 h ^ 2 = R ^ 2 #

#:. • h ^ 2 = 4/3 R ^ 2 #

#:. * h = sqrt (4/3 R ^ 2) "" # (oczywiście chcemy te + ve root)

#:. • h = (2R) / sqrt (3) #

Z tą wartością # h # dostajemy:

# r ^ 2 = R ^ 2-1 / 4 4/3 R ^ 2 #

#:. r ^ 2 = R ^ 2-http: // 3 R ^ 2 #

#:. r ^ 2 = 2 / 3R ^ 2 #

#:. r = sqrt (2/3) R #

Powinniśmy sprawdzić, czy ta wartość prowadzi do maksymalnej (a nie maksymalnej) objętości. Robimy to, patrząc na drugą pochodną:

# (dV) / (dh) = pi R ^ 2-3 / 4pih ^ 2 #

#:. (d ^ 2V) / (dh ^ 2) = -6 / 4pih #

I jako #h> 0 # konkludujemy to # (d ^ 2V) / (dh ^ 2) <0 # oraz że zidentyfikowany punkt krytyczny prowadzi do maksimum, o które się ubiegano.

Stąd maksymalna objętość cylindra zostanie znaleziona, jeśli wybierzemy

# r = sqrt (2/3) R #, i #h = (2R) / sqrt (3) #

Z tym wyborem uzyskujemy maksymalną głośność;

# V = pi R ^ 2 ((2R) / sqrt (3)) -1 / 4pi ((2R) / sqrt (3)) ^ 3 #

#:. V = (2pi R ^ 3) / sqrt (3) - 1 / 4pi ((8R ^ 3) / (3sqrt (3))) #

#:. V = (2pi R ^ 3) / sqrt (3) - (2piR ^ 3) / (3sqrt (3)) #

#:. V = (4pi R ^ 3) / (3sqrt (3)) #

I oczywiście objętość Sfery daje:

#V_s = 4 / 3piR ^ 3 #

Jest to bardzo znany problem, który został zbadany przez greckich matematyków przed odkryciem rachunku różniczkowego. Interesującą właściwością jest stosunek objętości cylindra do objętości kuli:

# V / V_s = ((4pi R ^ 3) / (3sqrt (3))) / (4 / 3piR ^ 3) = 1 / sqrt (3) #

Innymi słowy stosunek objętości jest całkowicie niezależny od # R #, # r # lub # h # co jest zdumiewającym wynikiem!