Jakie są ekstrema lokalne f (x) = (xlnx) ^ 2 / x?

Odpowiedź:

#f_min = f (1) = 0 #

#f_max = f (e ^ (- 2)) ok. 0,541 #

Wyjaśnienie:

#f (x) = (xlnx) ^ 2 / x #

# = (x ^ 2 * (lnx) ^ 2) / x #

# = x (lnx) ^ 2 #

Stosowanie reguły produktu

#f '(x) = x * 2lnx * 1 / x + (lnx) ^ 2 * 1 #

# = (lnx) ^ 2 + 2lnx #

Dla lokalnych maksimów lub minimów: #f '(x) = 0 #

Pozwolić # z = lnx #

#:. z ^ 2 + 2z = 0 #

#z (z + 2) = 0 -> z = 0 lub z = -2 #

Stąd dla lokalnego maksimum lub minimum:

#lnx = 0 lub lnx = -2 #

#:. x = 1 lub x = e ^ -2 około 0,135 #

Teraz sprawdź wykres #x (lnx) ^ 2 # poniżej.

wykres {x (lnx) ^ 2 -2.566, 5.23, -1.028, 2.87}

Możemy zaobserwować to uproszczone #f (x) # ma lokalne minimum # x = 1 # i maksimum lokalne na #x in (0, 0,25) #

Stąd: #f_min = f (1) = 0 # i #f_max = f (e ^ (- 2)) ok. 0,541 #