Jakie są lokalne ekstrema f (x) = xlnx-xe ^ x?

Odpowiedź:

Ta funkcja nie ma lokalnego ekstrema.

Wyjaśnienie:

#f (x) = xlnx-xe ^ x oznacza #

#g (x) equiv f ^ '(x) = 1 + lnx - (x + 1) e ^ x #

Dla # x # być lokalnym ekstremum, #g (x) # musi wynosić zero. Pokażemy teraz, że nie występuje to dla żadnej rzeczywistej wartości # x #.

Zauważ, że

#g ^ '(x) = 1 / x- (x + 2) e ^ x, qquad g ^ {' '} (x) = -1 / x ^ 2- (x + 3) e ^ x #

A zatem #g ^ '(x) # zniknie, jeśli

# e ^ x = 1 / (x (x + 2)) #

Jest to równanie transcendentalne, które można rozwiązać numerycznie. Od #g ^ '(0) = + oo # i #g ^ '(1) = 1-3e <0 #, root znajduje się między 0 a 1. I od tego czasu #g ^ {''} (0) <0 # dla wszystkich pozytywnych # x #, jest to jedyny root i odpowiada maksimum dla #g (x) #

Jest to dość łatwe do rozwiązania równania numerycznie, co pokazuje to #g (x) # ma maksymalny w # x = 0,3152 # a maksymalna wartość to #g (0.3152) = -1.957 #. Od maksymalnej wartości #g (x) # jest ujemna, nie ma wartości # x # w którym #g (x) # znika.

Może być pouczające, aby spojrzeć na to graficznie:

wykres {x log (x) -x e ^ x -0.105, 1, -1.175, 0.075}

Jak widać na powyższym wykresie, funkcja #f (x) # faktycznie ma maksimum na # x = 0 # - ale to nie jest lokalne maksimum. Poniższy wykres pokazuje to #g (x) equiv f ^ '(x) # nigdy nie przyjmuje wartości zero.

wykres {1 + log (x) - (x + 1) * e ^ x -0,105, 1, -3, 0,075}